Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57018 / 85308
↖ ↑ ↗
← S 47.628380°
W 23.395386°		 ← 205.84 m → S 47.628380°
W 23.392639°		 →
↑
205.78 m
↓
↑
205.78 m
↓
S 47.630231°
W 23.395386°		 ← 205.83 m →
42 357 m²		 S 47.630231°
W 23.392639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435016632080078 y=0.650852203369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435016632080078 × 217)
    floor (0.435016632080078 × 131072)
    floor (57018.5)     		tx = 57018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650852203369141 × 217)
    floor (0.650852203369141 × 131072)
    floor (85308.5)     		ty = 85308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57018 / 85308 ti = "17/57018/85308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57018/85308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57018 ÷ 217
    57018 ÷ 131072     		x = 0.435012817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85308 ÷ 217
    85308 ÷ 131072     		y = 0.650848388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435012817382812 × 2 - 1) × π
    -0.129974365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40832651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650848388671875 × 2 - 1) × π
    -0.30169677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.94780837928775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40832651} λ = -0.40832651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.94780837928775))-π/2
    2×atan(0.387589542568179)-π/2
    2×0.369762138971547-π/2
    0.739524277943094-1.57079632675     		φ = -0.83127205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40832651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.395386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83127205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.628380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57018 KachelY 85308 -0.40832651 -0.83127205 -23.395386 -47.628380
    Oben rechts KachelX + 1 57019 KachelY 85308 -0.40827857 -0.83127205 -23.392639 -47.628380
    Unten links KachelX 57018 KachelY + 1 85309 -0.40832651 -0.83130435 -23.395386 -47.630231
    Unten rechts KachelX + 1 57019 KachelY + 1 85309 -0.40827857 -0.83130435 -23.392639 -47.630231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83127205--0.83130435) × R
    3.22999999999851e-05 × 6371000     		dl = 205.783299999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83127205--0.83130435) × R
    3.22999999999851e-05 × 6371000     		dr = 205.783299999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40832651--0.40827857) × cos(-0.83127205) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.673936528711856 × 6371000     		do = 205.837562994715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40832651--0.40827857) × cos(-0.83130435) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.673912665467544 × 6371000     		du = 205.830274545662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83127205)-sin(-0.83130435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673936528711856-0.673912665467544)×R²
    abs(-0.40827857--0.40832651)×2.3863244312361e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3863244312361e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3863244312361e-05×40589641000000     		ar = 42357.183059993m²