Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57016 / 29129
↖ ↑ ↗
← N 70.191619°
W 23.400879°		 ← 103.48 m → N 70.191619°
W 23.398132°		 →
↑
103.53 m
↓
↑
103.53 m
↓
N 70.190688°
W 23.400879°		 ← 103.48 m →
10 713 m²		 N 70.190688°
W 23.398132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435001373291016 y=0.222240447998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435001373291016 × 217)
    floor (0.435001373291016 × 131072)
    floor (57016.5)     		tx = 57016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222240447998047 × 217)
    floor (0.222240447998047 × 131072)
    floor (29129.5)     		ty = 29129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57016 / 29129 ti = "17/57016/29129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57016/29129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57016 ÷ 217
    57016 ÷ 131072     		x = 0.43499755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29129 ÷ 217
    29129 ÷ 131072     		y = 0.222236633300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43499755859375 × 2 - 1) × π
    -0.1300048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40842238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222236633300781 × 2 - 1) × π
    0.555526733398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.74523870446738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40842238} λ = -0.40842238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74523870446738))-π/2
    2×atan(5.7272684368267)-π/2
    2×1.39793559307759-π/2
    2.79587118615519-1.57079632675     		φ = 1.22507486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40842238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.400879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22507486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.191619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57016 KachelY 29129 -0.40842238 1.22507486 -23.400879 70.191619
    Oben rechts KachelX + 1 57017 KachelY 29129 -0.40837445 1.22507486 -23.398132 70.191619
    Unten links KachelX 57016 KachelY + 1 29130 -0.40842238 1.22505861 -23.400879 70.190688
    Unten rechts KachelX + 1 57017 KachelY + 1 29130 -0.40837445 1.22505861 -23.398132 70.190688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22507486-1.22505861) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dl = 103.528750000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22507486-1.22505861) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dr = 103.528750000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40842238--0.40837445) × cos(1.22507486) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.338875543861333 × 6371000     		do = 103.479723990794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40842238--0.40837445) × cos(1.22505861) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.338890832323753 × 6371000     		du = 103.484392506714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22507486)-sin(1.22505861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338875543861333-0.338890832323753)×R²
    abs(-0.40837445--0.40842238)×1.52884624202154e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.52884624202154e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.52884624202154e-05×40589641000000     		ar = 10713.3681382425m²