Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57015 / 85227
↖ ↑ ↗
← S 47.478232°
W 23.403625°		 ← 206.43 m → S 47.478232°
W 23.400879°		 →
↑
206.42 m
↓
↑
206.42 m
↓
S 47.480088°
W 23.403625°		 ← 206.42 m →
42 610 m²		 S 47.480088°
W 23.400879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434993743896484 y=0.650234222412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434993743896484 × 217)
    floor (0.434993743896484 × 131072)
    floor (57015.5)     		tx = 57015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650234222412109 × 217)
    floor (0.650234222412109 × 131072)
    floor (85227.5)     		ty = 85227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57015 / 85227 ti = "17/57015/85227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57015/85227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57015 ÷ 217
    57015 ÷ 131072     		x = 0.434989929199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85227 ÷ 217
    85227 ÷ 131072     		y = 0.650230407714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434989929199219 × 2 - 1) × π
    -0.130020141601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.40847032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650230407714844 × 2 - 1) × π
    -0.300460815429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.943925490418526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40847032} λ = -0.40847032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.943925490418526))-π/2
    2×atan(0.389097435284247)-π/2
    2×0.371072426270132-π/2
    0.742144852540263-1.57079632675     		φ = -0.82865147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40847032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.403625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82865147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.478232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57015 KachelY 85227 -0.40847032 -0.82865147 -23.403625 -47.478232
    Oben rechts KachelX + 1 57016 KachelY 85227 -0.40842238 -0.82865147 -23.400879 -47.478232
    Unten links KachelX 57015 KachelY + 1 85228 -0.40847032 -0.82868387 -23.403625 -47.480088
    Unten rechts KachelX + 1 57016 KachelY + 1 85228 -0.40842238 -0.82868387 -23.400879 -47.480088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82865147--0.82868387) × R
    3.24000000000435e-05 × 6371000     		dl = 206.420400000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82865147--0.82868387) × R
    3.24000000000435e-05 × 6371000     		dr = 206.420400000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40847032--0.40842238) × cos(-0.82865147) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.675870268719658 × 6371000     		do = 206.428176967804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40847032--0.40842238) × cos(-0.82868387) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.675846388897141 × 6371000     		du = 206.420883455341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82865147)-sin(-0.82868387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675870268719658-0.675846388897141)×R²
    abs(-0.40842238--0.40847032)×2.38798225171699e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38798225171699e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38798225171699e-05×40589641000000     		ar = 42610.2340999878m²