Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57015 / 42388
↖ ↑ ↗
← N 53.507651°
W 23.403625°		 ← 181.64 m → N 53.507651°
W 23.400879°		 →
↑
181.64 m
↓
↑
181.64 m
↓
N 53.506018°
W 23.403625°		 ← 181.65 m →
32 993 m²		 N 53.506018°
W 23.400879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434993743896484 y=0.323398590087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434993743896484 × 217)
    floor (0.434993743896484 × 131072)
    floor (57015.5)     		tx = 57015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323398590087891 × 217)
    floor (0.323398590087891 × 131072)
    floor (42388.5)     		ty = 42388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57015 / 42388 ti = "17/57015/42388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57015/42388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57015 ÷ 217
    57015 ÷ 131072     		x = 0.434989929199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42388 ÷ 217
    42388 ÷ 131072     		y = 0.323394775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434989929199219 × 2 - 1) × π
    -0.130020141601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.40847032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323394775390625 × 2 - 1) × π
    0.35321044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10964335240506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40847032} λ = -0.40847032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10964335240506))-π/2
    2×atan(3.03327639077058)-π/2
    2×1.25234050835809-π/2
    2.50468101671619-1.57079632675     		φ = 0.93388469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40847032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.403625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93388469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.507651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57015 KachelY 42388 -0.40847032 0.93388469 -23.403625 53.507651
    Oben rechts KachelX + 1 57016 KachelY 42388 -0.40842238 0.93388469 -23.400879 53.507651
    Unten links KachelX 57015 KachelY + 1 42389 -0.40847032 0.93385618 -23.403625 53.506018
    Unten rechts KachelX + 1 57016 KachelY + 1 42389 -0.40842238 0.93385618 -23.400879 53.506018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93388469-0.93385618) × R
    2.85099999999261e-05 × 6371000     		dl = 181.637209999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93388469-0.93385618) × R
    2.85099999999261e-05 × 6371000     		dr = 181.637209999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40847032--0.40842238) × cos(0.93388469) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.594715434255629 × 6371000     		do = 181.641401597038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40847032--0.40842238) × cos(0.93385618) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.594738354237447 × 6371000     		du = 181.648401949446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93388469)-sin(0.93385618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594715434255629-0.594738354237447)×R²
    abs(-0.40842238--0.40847032)×2.29199818179149e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29199818179149e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29199818179149e-05×40589641000000     		ar = 32993.473171107m²