Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57013 / 43957
↖ ↑ ↗
← N 50.866645°
W 23.409119°		 ← 192.76 m → N 50.866645°
W 23.406372°		 →
↑
192.72 m
↓
↑
192.72 m
↓
N 50.864912°
W 23.409119°		 ← 192.77 m →
37 150 m²		 N 50.864912°
W 23.406372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434978485107422 y=0.335369110107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434978485107422 × 217)
    floor (0.434978485107422 × 131072)
    floor (57013.5)     		tx = 57013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335369110107422 × 217)
    floor (0.335369110107422 × 131072)
    floor (43957.5)     		ty = 43957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57013 / 43957 ti = "17/57013/43957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57013/43957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57013 ÷ 217
    57013 ÷ 131072     		x = 0.434974670410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43957 ÷ 217
    43957 ÷ 131072     		y = 0.335365295410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434974670410156 × 2 - 1) × π
    -0.130050659179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.40856620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335365295410156 × 2 - 1) × π
    0.329269409179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.03443035690119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40856620} λ = -0.40856620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03443035690119))-π/2
    2×atan(2.81350308643931)-π/2
    2×1.22929337838596-π/2
    2.45858675677193-1.57079632675     		φ = 0.88779043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40856620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.409119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88779043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.866645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57013 KachelY 43957 -0.40856620 0.88779043 -23.409119 50.866645
    Oben rechts KachelX + 1 57014 KachelY 43957 -0.40851826 0.88779043 -23.406372 50.866645
    Unten links KachelX 57013 KachelY + 1 43958 -0.40856620 0.88776018 -23.409119 50.864912
    Unten rechts KachelX + 1 57014 KachelY + 1 43958 -0.40851826 0.88776018 -23.406372 50.864912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88779043-0.88776018) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dl = 192.72275000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88779043-0.88776018) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dr = 192.72275000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40856620--0.40851826) × cos(0.88779043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.631127483140819 × 6371000     		do = 192.762578572496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40856620--0.40851826) × cos(0.88776018) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63115094714549 × 6371000     		du = 192.769745083486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88779043)-sin(0.88776018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631127483140819-0.63115094714549)×R²
    abs(-0.40851826--0.40856620)×2.34640046709034e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34640046709034e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34640046709034e-05×40589641000000     		ar = 37150.4248171735m²