Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57013 / 42391
↖ ↑ ↗
← N 53.502751°
W 23.409119°		 ← 181.66 m → N 53.502751°
W 23.406372°		 →
↑
181.64 m
↓
↑
181.64 m
↓
N 53.501117°
W 23.409119°		 ← 181.67 m →
32 997 m²		 N 53.501117°
W 23.406372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434978485107422 y=0.323421478271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434978485107422 × 217)
    floor (0.434978485107422 × 131072)
    floor (57013.5)     		tx = 57013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323421478271484 × 217)
    floor (0.323421478271484 × 131072)
    floor (42391.5)     		ty = 42391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57013 / 42391 ti = "17/57013/42391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57013/42391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57013 ÷ 217
    57013 ÷ 131072     		x = 0.434974670410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42391 ÷ 217
    42391 ÷ 131072     		y = 0.323417663574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434974670410156 × 2 - 1) × π
    -0.130050659179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.40856620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323417663574219 × 2 - 1) × π
    0.353164672851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.1094995417062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40856620} λ = -0.40856620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1094995417062))-π/2
    2×atan(3.03284020453787)-π/2
    2×1.25229774266491-π/2
    2.50459548532982-1.57079632675     		φ = 0.93379916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40856620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.409119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93379916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.502751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57013 KachelY 42391 -0.40856620 0.93379916 -23.409119 53.502751
    Oben rechts KachelX + 1 57014 KachelY 42391 -0.40851826 0.93379916 -23.406372 53.502751
    Unten links KachelX 57013 KachelY + 1 42392 -0.40856620 0.93377065 -23.409119 53.501117
    Unten rechts KachelX + 1 57014 KachelY + 1 42392 -0.40851826 0.93377065 -23.406372 53.501117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93379916-0.93377065) × R
    2.85099999999261e-05 × 6371000     		dl = 181.637209999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93379916-0.93377065) × R
    2.85099999999261e-05 × 6371000     		dr = 181.637209999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40856620--0.40851826) × cos(0.93379916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594784192750818 × 6371000     		do = 181.662402211102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40856620--0.40851826) × cos(0.93377065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594807111282335 × 6371000     		du = 181.66940212055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93379916)-sin(0.93377065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594784192750818-0.594807111282335)×R²
    abs(-0.40851826--0.40856620)×2.29185315161473e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29185315161473e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29185315161473e-05×40589641000000     		ar = 32997.2876236525m²