Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57012 / 42373
↖ ↑ ↗
← N 53.532146°
W 23.411865°		 ← 181.50 m → N 53.532146°
W 23.409119°		 →
↑
181.51 m
↓
↑
181.51 m
↓
N 53.530513°
W 23.411865°		 ← 181.51 m →
32 944 m²		 N 53.530513°
W 23.409119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434970855712891 y=0.323284149169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434970855712891 × 217)
    floor (0.434970855712891 × 131072)
    floor (57012.5)     		tx = 57012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323284149169922 × 217)
    floor (0.323284149169922 × 131072)
    floor (42373.5)     		ty = 42373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57012 / 42373 ti = "17/57012/42373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57012/42373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57012 ÷ 217
    57012 ÷ 131072     		x = 0.434967041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42373 ÷ 217
    42373 ÷ 131072     		y = 0.323280334472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434967041015625 × 2 - 1) × π
    -0.13006591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40861413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323280334472656 × 2 - 1) × π
    0.353439331054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.11036240589936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40861413} λ = -0.40861413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11036240589936))-π/2
    2×atan(3.035458263106)-π/2
    2×1.25255426266839-π/2
    2.50510852533678-1.57079632675     		φ = 0.93431220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40861413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.411865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93431220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.532146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57012 KachelY 42373 -0.40861413 0.93431220 -23.411865 53.532146
    Oben rechts KachelX + 1 57013 KachelY 42373 -0.40856620 0.93431220 -23.409119 53.532146
    Unten links KachelX 57012 KachelY + 1 42374 -0.40861413 0.93428371 -23.411865 53.530513
    Unten rechts KachelX + 1 57013 KachelY + 1 42374 -0.40856620 0.93428371 -23.409119 53.530513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93431220-0.93428371) × R
    2.84900000000476e-05 × 6371000     		dl = 181.509790000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93431220-0.93428371) × R
    2.84900000000476e-05 × 6371000     		dr = 181.509790000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40861413--0.40856620) × cos(0.93431220) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.594371689117865 × 6371000     		do = 181.498545563671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40861413--0.40856620) × cos(0.93428371) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.594394600262833 × 6371000     		du = 181.505541757408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93431220)-sin(0.93428371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594371689117865-0.594394600262833)×R²
    abs(-0.40856620--0.40861413)×2.29111449686625e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29111449686625e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29111449686625e-05×40589641000000     		ar = 32944.3978316507m²