Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57011 / 43955
↖ ↑ ↗
← N 50.870112°
W 23.414612°		 ← 192.75 m → N 50.870112°
W 23.411865°		 →
↑
192.79 m
↓
↑
192.79 m
↓
N 50.868378°
W 23.414612°		 ← 192.76 m →
37 160 m²		 N 50.868378°
W 23.411865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434963226318359 y=0.335353851318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434963226318359 × 217)
    floor (0.434963226318359 × 131072)
    floor (57011.5)     		tx = 57011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335353851318359 × 217)
    floor (0.335353851318359 × 131072)
    floor (43955.5)     		ty = 43955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57011 / 43955 ti = "17/57011/43955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57011/43955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57011 ÷ 217
    57011 ÷ 131072     		x = 0.434959411621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43955 ÷ 217
    43955 ÷ 131072     		y = 0.335350036621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434959411621094 × 2 - 1) × π
    -0.130081176757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.40866207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335350036621094 × 2 - 1) × π
    0.329299926757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.03452623070043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40866207} λ = -0.40866207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03452623070043))-π/2
    2×atan(2.81377284060036)-π/2
    2×1.22932363155582-π/2
    2.45864726311163-1.57079632675     		φ = 0.88785094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40866207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.414612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88785094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.870112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57011 KachelY 43955 -0.40866207 0.88785094 -23.414612 50.870112
    Oben rechts KachelX + 1 57012 KachelY 43955 -0.40861413 0.88785094 -23.411865 50.870112
    Unten links KachelX 57011 KachelY + 1 43956 -0.40866207 0.88782068 -23.414612 50.868378
    Unten rechts KachelX + 1 57012 KachelY + 1 43956 -0.40861413 0.88782068 -23.411865 50.868378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88785094-0.88782068) × R
    3.02599999999487e-05 × 6371000     		dl = 192.786459999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88785094-0.88782068) × R
    3.02599999999487e-05 × 6371000     		dr = 192.786459999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40866207--0.40861413) × cos(0.88785094) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.631080545641763 × 6371000     		do = 192.748242652113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40866207--0.40861413) × cos(0.88782068) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.631104018558628 × 6371000     		du = 192.755411885116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88785094)-sin(0.88782068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631080545641763-0.631104018558628)×R²
    abs(-0.40861413--0.40866207)×2.34729168646641e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34729168646641e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34729168646641e-05×40589641000000     		ar = 37159.9424402937m²