Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57010 / 8754
↖ ↑ ↗
← N 78.575731°
E133.165283°		 ← 120.98 m → N 78.575731°
E133.170776°		 →
↑
120.99 m
↓
↑
120.99 m
↓
N 78.574643°
E133.165283°		 ← 120.99 m →
14 638 m²		 N 78.574643°
E133.170776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869911193847656 y=0.133583068847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869911193847656 × 216)
    floor (0.869911193847656 × 65536)
    floor (57010.5)     		tx = 57010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133583068847656 × 216)
    floor (0.133583068847656 × 65536)
    floor (8754.5)     		ty = 8754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57010 / 8754 ti = "16/57010/8754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57010/8754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57010 ÷ 216
    57010 ÷ 65536     		x = 0.869903564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8754 ÷ 216
    8754 ÷ 65536     		y = 0.133575439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869903564453125 × 2 - 1) × π
    0.73980712890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.32417264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133575439453125 × 2 - 1) × π
    0.73284912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30231341495206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32417264} λ = 2.32417264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30231341495206))-π/2
    2×atan(9.99728358859149)-π/2
    2×1.47110077190584-π/2
    2.94220154381167-1.57079632675     		φ = 1.37140522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32417264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.165283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37140522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.575731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57010 KachelY 8754 2.32417264 1.37140522 133.165283 78.575731
    Oben rechts KachelX + 1 57011 KachelY 8754 2.32426851 1.37140522 133.170776 78.575731
    Unten links KachelX 57010 KachelY + 1 8755 2.32417264 1.37138623 133.165283 78.574643
    Unten rechts KachelX + 1 57011 KachelY + 1 8755 2.32426851 1.37138623 133.170776 78.574643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37140522-1.37138623) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dl = 120.985290000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37140522-1.37138623) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dr = 120.985290000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32417264-2.32426851) × cos(1.37140522) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.19807253812372 × 6371000     		do = 120.980283858825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32417264-2.32426851) × cos(1.37138623) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198091151846058 × 6371000     		du = 120.991652892782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37140522)-sin(1.37138623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19807253812372-0.198091151846058)×R²
    abs(2.32426851-2.32417264)×1.86137223374405e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86137223374405e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86137223374405e-05×40589641000000     		ar = 14637.5224700842m²