Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57010 / 43963
↖ ↑ ↗
← N 50.856243°
W 23.417359°		 ← 192.81 m → N 50.856243°
W 23.414612°		 →
↑
192.79 m
↓
↑
192.79 m
↓
N 50.854509°
W 23.417359°		 ← 192.81 m →
37 171 m²		 N 50.854509°
W 23.414612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434955596923828 y=0.335414886474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434955596923828 × 217)
    floor (0.434955596923828 × 131072)
    floor (57010.5)     		tx = 57010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335414886474609 × 217)
    floor (0.335414886474609 × 131072)
    floor (43963.5)     		ty = 43963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57010 / 43963 ti = "17/57010/43963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57010/43963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57010 ÷ 217
    57010 ÷ 131072     		x = 0.434951782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43963 ÷ 217
    43963 ÷ 131072     		y = 0.335411071777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434951782226562 × 2 - 1) × π
    -0.130096435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40871001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335411071777344 × 2 - 1) × π
    0.329177856445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.03414273550347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40871001} λ = -0.40871001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03414273550347))-π/2
    2×atan(2.81269397911297)-π/2
    2×1.2292026053766-π/2
    2.4584052107532-1.57079632675     		φ = 0.88760888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40871001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.417359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88760888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.856243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57010 KachelY 43963 -0.40871001 0.88760888 -23.417359 50.856243
    Oben rechts KachelX + 1 57011 KachelY 43963 -0.40866207 0.88760888 -23.414612 50.856243
    Unten links KachelX 57010 KachelY + 1 43964 -0.40871001 0.88757862 -23.417359 50.854509
    Unten rechts KachelX + 1 57011 KachelY + 1 43964 -0.40866207 0.88757862 -23.414612 50.854509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88760888-0.88757862) × R
    3.02600000000597e-05 × 6371000     		dl = 192.78646000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88760888-0.88757862) × R
    3.02600000000597e-05 × 6371000     		dr = 192.78646000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40871001--0.40866207) × cos(0.88760888) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.631268297283504 × 6371000     		do = 192.805586836451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40871001--0.40866207) × cos(0.88757862) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.631291765577097 × 6371000     		du = 192.812754657388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88760888)-sin(0.88757862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631268297283504-0.631291765577097)×R²
    abs(-0.40866207--0.40871001)×2.34682935930097e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34682935930097e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34682935930097e-05×40589641000000     		ar = 37170.9974867722m²