Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57010 / 18158
↖ ↑ ↗
← N 78.216663°
W 23.417359°		 ← 62.37 m → N 78.216663°
W 23.414612°		 →
↑
62.37 m
↓
↑
62.37 m
↓
N 78.216102°
W 23.417359°		 ← 62.37 m →
3 890 m²		 N 78.216102°
W 23.414612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434955596923828 y=0.138538360595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434955596923828 × 217)
    floor (0.434955596923828 × 131072)
    floor (57010.5)     		tx = 57010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138538360595703 × 217)
    floor (0.138538360595703 × 131072)
    floor (18158.5)     		ty = 18158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57010 / 18158 ti = "17/57010/18158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57010/18158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57010 ÷ 217
    57010 ÷ 131072     		x = 0.434951782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18158 ÷ 217
    18158 ÷ 131072     		y = 0.138534545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434951782226562 × 2 - 1) × π
    -0.130096435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40871001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138534545898438 × 2 - 1) × π
    0.722930908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27115443019902
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40871001} λ = -0.40871001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27115443019902))-π/2
    2×atan(9.69058145907644)-π/2
    2×1.46796731542135-π/2
    2.9359346308427-1.57079632675     		φ = 1.36513830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40871001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.417359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36513830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.216663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57010 KachelY 18158 -0.40871001 1.36513830 -23.417359 78.216663
    Oben rechts KachelX + 1 57011 KachelY 18158 -0.40866207 1.36513830 -23.414612 78.216663
    Unten links KachelX 57010 KachelY + 1 18159 -0.40871001 1.36512851 -23.417359 78.216102
    Unten rechts KachelX + 1 57011 KachelY + 1 18159 -0.40866207 1.36512851 -23.414612 78.216102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36513830-1.36512851) × R
    9.79000000000951e-06 × 6371000     		dl = 62.3720900000606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36513830-1.36512851) × R
    9.79000000000951e-06 × 6371000     		dr = 62.3720900000606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40871001--0.40866207) × cos(1.36513830) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.204211364147723 × 6371000     		do = 62.3714070112591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40871001--0.40866207) × cos(1.36512851) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.204220947831504 × 6371000     		du = 62.3743341149697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36513830)-sin(1.36512851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204211364147723-0.204220947831504)×R²
    abs(-0.40866207--0.40871001)×9.58368378062291e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.58368378062291e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.58368378062291e-06×40589641000000     		ar = 3890.32629639229m²