Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 57009 / 8753
↖ ↑ ↗
← N 78.576819°
E133.159790°		 ← 120.97 m → N 78.576819°
E133.165283°		 →
↑
120.99 m
↓
↑
120.99 m
↓
N 78.575731°
E133.159790°		 ← 120.98 m →
14 636 m²		 N 78.575731°
E133.165283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869895935058594 y=0.133567810058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869895935058594 × 216)
    floor (0.869895935058594 × 65536)
    floor (57009.5)     		tx = 57009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133567810058594 × 216)
    floor (0.133567810058594 × 65536)
    floor (8753.5)     		ty = 8753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57009 / 8753 ti = "16/57009/8753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57009/8753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57009 ÷ 216
    57009 ÷ 65536     		x = 0.869888305664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8753 ÷ 216
    8753 ÷ 65536     		y = 0.133560180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869888305664062 × 2 - 1) × π
    0.739776611328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32407677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133560180664062 × 2 - 1) × π
    0.732879638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3024092887513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32407677} λ = 2.32407677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3024092887513))-π/2
    2×atan(9.99824211209912)-π/2
    2×1.47111026644323-π/2
    2.94222053288645-1.57079632675     		φ = 1.37142421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32407677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.159790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37142421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.576819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57009 KachelY 8753 2.32407677 1.37142421 133.159790 78.576819
    Oben rechts KachelX + 1 57010 KachelY 8753 2.32417264 1.37142421 133.165283 78.576819
    Unten links KachelX 57009 KachelY + 1 8754 2.32407677 1.37140522 133.159790 78.575731
    Unten rechts KachelX + 1 57010 KachelY + 1 8754 2.32417264 1.37140522 133.165283 78.575731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37142421-1.37140522) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dl = 120.985290000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37142421-1.37140522) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dr = 120.985290000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32407677-2.32417264) × cos(1.37142421) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198053924329954 × 6371000     		do = 120.968914781239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32407677-2.32417264) × cos(1.37140522) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.19807253812372 × 6371000     		du = 120.980283858825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37142421)-sin(1.37140522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198053924329954-0.19807253812372)×R²
    abs(2.32417264-2.32407677)×1.86137937663589e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86137937663589e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86137937663589e-05×40589641000000     		ar = 14636.1469820702m²