Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57009 / 85378
↖ ↑ ↗
← S 47.757791°
W 23.420105°		 ← 205.28 m → S 47.757791°
W 23.417359°		 →
↑
205.27 m
↓
↑
205.27 m
↓
S 47.759637°
W 23.420105°		 ← 205.28 m →
42 139 m²		 S 47.759637°
W 23.417359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434947967529297 y=0.651386260986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434947967529297 × 217)
    floor (0.434947967529297 × 131072)
    floor (57009.5)     		tx = 57009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651386260986328 × 217)
    floor (0.651386260986328 × 131072)
    floor (85378.5)     		ty = 85378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57009 / 85378 ti = "17/57009/85378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57009/85378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57009 ÷ 217
    57009 ÷ 131072     		x = 0.434944152832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85378 ÷ 217
    85378 ÷ 131072     		y = 0.651382446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434944152832031 × 2 - 1) × π
    -0.130111694335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.40875794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651382446289062 × 2 - 1) × π
    -0.302764892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.951163962261154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40875794} λ = -0.40875794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951163962261154))-π/2
    2×atan(0.386291133376689)-π/2
    2×0.368632815375394-π/2
    0.737265630750789-1.57079632675     		φ = -0.83353070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40875794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.420105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83353070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.757791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57009 KachelY 85378 -0.40875794 -0.83353070 -23.420105 -47.757791
    Oben rechts KachelX + 1 57010 KachelY 85378 -0.40871001 -0.83353070 -23.417359 -47.757791
    Unten links KachelX 57009 KachelY + 1 85379 -0.40875794 -0.83356292 -23.420105 -47.759637
    Unten rechts KachelX + 1 57010 KachelY + 1 85379 -0.40871001 -0.83356292 -23.417359 -47.759637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83353070--0.83356292) × R
    3.22200000000272e-05 × 6371000     		dl = 205.273620000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83353070--0.83356292) × R
    3.22200000000272e-05 × 6371000     		dr = 205.273620000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40875794--0.40871001) × cos(-0.83353070) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.672266144749307 × 6371000     		do = 205.28455466081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40875794--0.40871001) × cos(-0.83356292) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.672242291626643 × 6371000     		du = 205.277270822852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83353070)-sin(-0.83356292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672266144749307-0.672242291626643)×R²
    abs(-0.40871001--0.40875794)×2.38531226636196e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38531226636196e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38531226636196e-05×40589641000000     		ar = 42138.7560790121m²