Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57007 / 29299
↖ ↑ ↗
← N 70.032784°
W 23.425598°		 ← 104.30 m → N 70.032784°
W 23.422852°		 →
↑
104.29 m
↓
↑
104.29 m
↓
N 70.031846°
W 23.425598°		 ← 104.30 m →
10 878 m²		 N 70.031846°
W 23.422852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434932708740234 y=0.223537445068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434932708740234 × 217)
    floor (0.434932708740234 × 131072)
    floor (57007.5)     		tx = 57007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223537445068359 × 217)
    floor (0.223537445068359 × 131072)
    floor (29299.5)     		ty = 29299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57007 / 29299 ti = "17/57007/29299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57007/29299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57007 ÷ 217
    57007 ÷ 131072     		x = 0.434928894042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29299 ÷ 217
    29299 ÷ 131072     		y = 0.223533630371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434928894042969 × 2 - 1) × π
    -0.130142211914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.40885382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223533630371094 × 2 - 1) × π
    0.552932739257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.73708943153197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40885382} λ = -0.40885382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73708943153197))-π/2
    2×atan(5.68078502342123)-π/2
    2×1.39654949330531-π/2
    2.79309898661062-1.57079632675     		φ = 1.22230266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40885382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.425598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22230266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.032784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57007 KachelY 29299 -0.40885382 1.22230266 -23.425598 70.032784
    Oben rechts KachelX + 1 57008 KachelY 29299 -0.40880588 1.22230266 -23.422852 70.032784
    Unten links KachelX 57007 KachelY + 1 29300 -0.40885382 1.22228629 -23.425598 70.031846
    Unten rechts KachelX + 1 57008 KachelY + 1 29300 -0.40880588 1.22228629 -23.422852 70.031846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22230266-1.22228629) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dl = 104.293269999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22230266-1.22228629) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dr = 104.293269999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40885382--0.40880588) × cos(1.22230266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34148241065694 × 6371000     		do = 104.297517971811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40885382--0.40880588) × cos(1.22228629) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34149779658045 × 6371000     		du = 104.302217228885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22230266)-sin(1.22228629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34148241065694-0.34149779658045)×R²
    abs(-0.40880588--0.40885382)×1.53859235100251e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53859235100251e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53859235100251e-05×40589641000000     		ar = 10877.7742526995m²