Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57005 / 29051
↖ ↑ ↗
← N 70.264090°
W 23.431091°		 ← 103.14 m → N 70.264090°
W 23.428345°		 →
↑
103.15 m
↓
↑
103.15 m
↓
N 70.263163°
W 23.431091°		 ← 103.14 m →
10 639 m²		 N 70.263163°
W 23.428345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434917449951172 y=0.221645355224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434917449951172 × 217)
    floor (0.434917449951172 × 131072)
    floor (57005.5)     		tx = 57005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221645355224609 × 217)
    floor (0.221645355224609 × 131072)
    floor (29051.5)     		ty = 29051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57005 / 29051 ti = "17/57005/29051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57005/29051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57005 ÷ 217
    57005 ÷ 131072     		x = 0.434913635253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29051 ÷ 217
    29051 ÷ 131072     		y = 0.221641540527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434913635253906 × 2 - 1) × π
    -0.130172729492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.40894969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221641540527344 × 2 - 1) × π
    0.556716918945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.74897778263775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40894969} λ = -0.40894969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74897778263775))-π/2
    2×atan(5.74872322678696)-π/2
    2×1.39856802094123-π/2
    2.79713604188245-1.57079632675     		φ = 1.22633972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40894969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.431091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22633972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.264090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57005 KachelY 29051 -0.40894969 1.22633972 -23.431091 70.264090
    Oben rechts KachelX + 1 57006 KachelY 29051 -0.40890175 1.22633972 -23.428345 70.264090
    Unten links KachelX 57005 KachelY + 1 29052 -0.40894969 1.22632353 -23.431091 70.263163
    Unten rechts KachelX + 1 57006 KachelY + 1 29052 -0.40890175 1.22632353 -23.428345 70.263163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22633972-1.22632353) × R
    1.61899999999715e-05 × 6371000     		dl = 103.146489999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22633972-1.22632353) × R
    1.61899999999715e-05 × 6371000     		dr = 103.146489999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40894969--0.40890175) × cos(1.22633972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337685253335812 × 6371000     		do = 103.13776838711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40894969--0.40890175) × cos(1.22632353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337700492276181 × 6371000     		du = 103.142422751749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22633972)-sin(1.22632353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337685253335812-0.337700492276181)×R²
    abs(-0.40890175--0.40894969)×1.52389403685338e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52389403685338e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52389403685338e-05×40589641000000     		ar = 10638.5388365011m²