Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57003 / 8987
↖ ↑ ↗
← N 78.319421°
E133.126831°		 ← 123.67 m → N 78.319421°
E133.132324°		 →
↑
123.66 m
↓
↑
123.66 m
↓
N 78.318309°
E133.126831°		 ← 123.68 m →
15 294 m²		 N 78.318309°
E133.132324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869804382324219 y=0.137138366699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869804382324219 × 216)
    floor (0.869804382324219 × 65536)
    floor (57003.5)     		tx = 57003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137138366699219 × 216)
    floor (0.137138366699219 × 65536)
    floor (8987.5)     		ty = 8987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57003 / 8987 ti = "16/57003/8987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57003/8987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57003 ÷ 216
    57003 ÷ 65536     		x = 0.869796752929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8987 ÷ 216
    8987 ÷ 65536     		y = 0.137130737304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869796752929688 × 2 - 1) × π
    0.739593505859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32350152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137130737304688 × 2 - 1) × π
    0.725738525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27997481972911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32350152} λ = 2.32350152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27997481972911))-π/2
    2×atan(9.7764342331672)-π/2
    2×1.4688640498042-π/2
    2.93772809960839-1.57079632675     		φ = 1.36693177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32350152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.126831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36693177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.319421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57003 KachelY 8987 2.32350152 1.36693177 133.126831 78.319421
    Oben rechts KachelX + 1 57004 KachelY 8987 2.32359740 1.36693177 133.132324 78.319421
    Unten links KachelX 57003 KachelY + 1 8988 2.32350152 1.36691236 133.126831 78.318309
    Unten rechts KachelX + 1 57004 KachelY + 1 8988 2.32359740 1.36691236 133.132324 78.318309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36693177-1.36691236) × R
    1.9410000000164e-05 × 6371000     		dl = 123.661110001045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36693177-1.36691236) × R
    1.9410000000164e-05 × 6371000     		dr = 123.661110001045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32350152-2.32359740) × cos(1.36693177) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.202455360778829 × 6371000     		do = 123.670156765601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32350152-2.32359740) × cos(1.36691236) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.202474368788557 × 6371000     		du = 123.681767836475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36693177)-sin(1.36691236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202455360778829-0.202474368788557)×R²
    abs(2.32359740-2.32350152)×1.90080097271783e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.90080097271783e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.90080097271783e-05×40589641000000     		ar = 15293.9067788552m²