Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57002 / 8970
↖ ↑ ↗
← N 78.338312°
E133.121338°		 ← 123.46 m → N 78.338312°
E133.126831°		 →
↑
123.47 m
↓
↑
123.47 m
↓
N 78.337202°
E133.121338°		 ← 123.47 m →
15 244 m²		 N 78.337202°
E133.126831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869789123535156 y=0.136878967285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869789123535156 × 216)
    floor (0.869789123535156 × 65536)
    floor (57002.5)     		tx = 57002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136878967285156 × 216)
    floor (0.136878967285156 × 65536)
    floor (8970.5)     		ty = 8970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57002 / 8970 ti = "16/57002/8970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57002/8970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57002 ÷ 216
    57002 ÷ 65536     		x = 0.869781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8970 ÷ 216
    8970 ÷ 65536     		y = 0.136871337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869781494140625 × 2 - 1) × π
    0.73956298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32340565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136871337890625 × 2 - 1) × π
    0.72625732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28160467431619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32340565} λ = 2.32340565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28160467431619))-π/2
    2×atan(9.79238139159189)-π/2
    2×1.46902890460059-π/2
    2.93805780920118-1.57079632675     		φ = 1.36726148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32340565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.121338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36726148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.338312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57002 KachelY 8970 2.32340565 1.36726148 133.121338 78.338312
    Oben rechts KachelX + 1 57003 KachelY 8970 2.32350152 1.36726148 133.126831 78.338312
    Unten links KachelX 57002 KachelY + 1 8971 2.32340565 1.36724210 133.121338 78.337202
    Unten rechts KachelX + 1 57003 KachelY + 1 8971 2.32350152 1.36724210 133.126831 78.337202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36726148-1.36724210) × R
    1.93800000001243e-05 × 6371000     		dl = 123.469980000792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36726148-1.36724210) × R
    1.93800000001243e-05 × 6371000     		dr = 123.469980000792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32340565-2.32350152) × cos(1.36726148) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202132467582425 × 6371000     		do = 123.460039119264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32340565-2.32350152) × cos(1.36724210) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.2021514475062 × 6371000     		du = 123.471631824581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36726148)-sin(1.36724210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202132467582425-0.2021514475062)×R²
    abs(2.32350152-2.32340565)×1.89799237743926e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.89799237743926e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.89799237743926e-05×40589641000000     		ar = 15244.3242370468m²