Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57002 / 85239
↖ ↑ ↗
← S 47.500503°
W 23.439331°		 ← 206.34 m → S 47.500503°
W 23.436584°		 →
↑
206.36 m
↓
↑
206.36 m
↓
S 47.502359°
W 23.439331°		 ← 206.33 m →
42 579 m²		 S 47.502359°
W 23.436584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434894561767578 y=0.650325775146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434894561767578 × 217)
    floor (0.434894561767578 × 131072)
    floor (57002.5)     		tx = 57002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650325775146484 × 217)
    floor (0.650325775146484 × 131072)
    floor (85239.5)     		ty = 85239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57002 / 85239 ti = "17/57002/85239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57002/85239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57002 ÷ 217
    57002 ÷ 131072     		x = 0.434890747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85239 ÷ 217
    85239 ÷ 131072     		y = 0.650321960449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434890747070312 × 2 - 1) × π
    -0.130218505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40909350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650321960449219 × 2 - 1) × π
    -0.300643920898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.944500733213966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40909350} λ = -0.40909350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944500733213966))-π/2
    2×atan(0.388873674152535)-π/2
    2×0.370878072727101-π/2
    0.741756145454202-1.57079632675     		φ = -0.82904018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40909350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.439331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82904018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.500503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57002 KachelY 85239 -0.40909350 -0.82904018 -23.439331 -47.500503
    Oben rechts KachelX + 1 57003 KachelY 85239 -0.40904556 -0.82904018 -23.436584 -47.500503
    Unten links KachelX 57002 KachelY + 1 85240 -0.40909350 -0.82907257 -23.439331 -47.502359
    Unten rechts KachelX + 1 57003 KachelY + 1 85240 -0.40904556 -0.82907257 -23.436584 -47.502359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82904018--0.82907257) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000     		dl = 206.356689999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82904018--0.82907257) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000     		dr = 206.356689999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40909350--0.40904556) × cos(-0.82904018) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.675583730385016 × 6371000     		do = 206.340660784908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40909350--0.40904556) × cos(-0.82907257) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.675559849425457 × 6371000     		du = 206.333366925162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82904018)-sin(-0.82907257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675583730385016-0.675559849425457)×R²
    abs(-0.40904556--0.40909350)×2.38809595588529e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38809595588529e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38809595588529e-05×40589641000000     		ar = 42579.0232073532m²