Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57002 / 44018
↖ ↑ ↗
← N 50.760784°
W 23.439331°		 ← 193.20 m → N 50.760784°
W 23.436584°		 →
↑
193.17 m
↓
↑
193.17 m
↓
N 50.759047°
W 23.439331°		 ← 193.21 m →
37 321 m²		 N 50.759047°
W 23.436584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434894561767578 y=0.335834503173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434894561767578 × 217)
    floor (0.434894561767578 × 131072)
    floor (57002.5)     		tx = 57002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335834503173828 × 217)
    floor (0.335834503173828 × 131072)
    floor (44018.5)     		ty = 44018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57002 / 44018 ti = "17/57002/44018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57002/44018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57002 ÷ 217
    57002 ÷ 131072     		x = 0.434890747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44018 ÷ 217
    44018 ÷ 131072     		y = 0.335830688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434890747070312 × 2 - 1) × π
    -0.130218505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40909350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335830688476562 × 2 - 1) × π
    0.328338623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03150620602437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40909350} λ = -0.40909350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03150620602437))-π/2
    2×atan(2.80528799585802)-π/2
    2×1.2283695756291-π/2
    2.45673915125819-1.57079632675     		φ = 0.88594282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40909350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.439331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88594282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.760784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57002 KachelY 44018 -0.40909350 0.88594282 -23.439331 50.760784
    Oben rechts KachelX + 1 57003 KachelY 44018 -0.40904556 0.88594282 -23.436584 50.760784
    Unten links KachelX 57002 KachelY + 1 44019 -0.40909350 0.88591250 -23.439331 50.759047
    Unten rechts KachelX + 1 57003 KachelY + 1 44019 -0.40904556 0.88591250 -23.436584 50.759047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88594282-0.88591250) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dl = 193.168720000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88594282-0.88591250) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dr = 193.168720000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40909350--0.40904556) × cos(0.88594282) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.632559557599827 × 6371000     		do = 193.199970974097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40909350--0.40904556) × cos(0.88591250) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63258304050445 × 6371000     		du = 193.207143257619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88594282)-sin(0.88591250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632559557599827-0.63258304050445)×R²
    abs(-0.40904556--0.40909350)×2.34829046228402e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34829046228402e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34829046228402e-05×40589641000000     		ar = 37320.8838304391m²