Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57001 / 29810
↖ ↑ ↗
← N 69.547958°
W 23.442078°		 ← 106.72 m → N 69.547958°
W 23.439331°		 →
↑
106.71 m
↓
↑
106.71 m
↓
N 69.546998°
W 23.442078°		 ← 106.73 m →
11 389 m²		 N 69.546998°
W 23.439331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434886932373047 y=0.227436065673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434886932373047 × 217)
    floor (0.434886932373047 × 131072)
    floor (57001.5)     		tx = 57001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227436065673828 × 217)
    floor (0.227436065673828 × 131072)
    floor (29810.5)     		ty = 29810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57001 / 29810 ti = "17/57001/29810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57001/29810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57001 ÷ 217
    57001 ÷ 131072     		x = 0.434883117675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29810 ÷ 217
    29810 ÷ 131072     		y = 0.227432250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434883117675781 × 2 - 1) × π
    -0.130233764648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.40914144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227432250976562 × 2 - 1) × π
    0.545135498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71259367582613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40914144} λ = -0.40914144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71259367582613))-π/2
    2×atan(5.54332042452927)-π/2
    2×1.39231859034996-π/2
    2.78463718069991-1.57079632675     		φ = 1.21384085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40914144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.442078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21384085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.547958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57001 KachelY 29810 -0.40914144 1.21384085 -23.442078 69.547958
    Oben rechts KachelX + 1 57002 KachelY 29810 -0.40909350 1.21384085 -23.439331 69.547958
    Unten links KachelX 57001 KachelY + 1 29811 -0.40914144 1.21382410 -23.442078 69.546998
    Unten rechts KachelX + 1 57002 KachelY + 1 29811 -0.40909350 1.21382410 -23.439331 69.546998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21384085-1.21382410) × R
    1.67499999998988e-05 × 6371000     		dl = 106.714249999355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21384085-1.21382410) × R
    1.67499999998988e-05 × 6371000     		dr = 106.714249999355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40914144--0.40909350) × cos(1.21384085) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.349423245444579 × 6371000     		do = 106.722853313166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40914144--0.40909350) × cos(1.21382410) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.349438939559171 × 6371000     		du = 106.727646699729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21384085)-sin(1.21382410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349423245444579-0.349438939559171)×R²
    abs(-0.40909350--0.40914144)×1.5694114591458e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.5694114591458e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.5694114591458e-05×40589641000000     		ar = 11389.1050108388m²