Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57000 / 8874
↖ ↑ ↗
← N 78.444427°
E133.110351°		 ← 122.36 m → N 78.444427°
E133.115845°		 →
↑
122.39 m
↓
↑
122.39 m
↓
N 78.443326°
E133.110351°		 ← 122.38 m →
14 977 m²		 N 78.443326°
E133.115845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869758605957031 y=0.135414123535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869758605957031 × 216)
    floor (0.869758605957031 × 65536)
    floor (57000.5)     		tx = 57000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135414123535156 × 216)
    floor (0.135414123535156 × 65536)
    floor (8874.5)     		ty = 8874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57000 / 8874 ti = "16/57000/8874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57000/8874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57000 ÷ 216
    57000 ÷ 65536     		x = 0.8697509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8874 ÷ 216
    8874 ÷ 65536     		y = 0.135406494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8697509765625 × 2 - 1) × π
    0.739501953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32321390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135406494140625 × 2 - 1) × π
    0.72918701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29080855904324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32321390} λ = 2.32321390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29080855904324))-π/2
    2×atan(9.88292538016471)-π/2
    2×1.46995492621934-π/2
    2.93990985243867-1.57079632675     		φ = 1.36911353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32321390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.110351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36911353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.444427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57000 KachelY 8874 2.32321390 1.36911353 133.110351 78.444427
    Oben rechts KachelX + 1 57001 KachelY 8874 2.32330978 1.36911353 133.115845 78.444427
    Unten links KachelX 57000 KachelY + 1 8875 2.32321390 1.36909432 133.110351 78.443326
    Unten rechts KachelX + 1 57001 KachelY + 1 8875 2.32330978 1.36909432 133.115845 78.443326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36911353-1.36909432) × R
    1.92099999998252e-05 × 6371000     		dl = 122.386909998886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36911353-1.36909432) × R
    1.92099999998252e-05 × 6371000     		dr = 122.386909998886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32321390-2.32330978) × cos(1.36911353) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.200318301616303 × 6371000     		do = 122.364731013892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32321390-2.32330978) × cos(1.36909432) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.200337122209357 × 6371000     		du = 122.376227601013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36911353)-sin(1.36909432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200318301616303-0.200337122209357)×R²
    abs(2.32330978-2.32321390)×1.88205930542196e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.88205930542196e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.88205930542196e-05×40589641000000     		ar = 14976.5448380372m²