Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5700 / 11851
↖ ↑ ↗
← S 62.380185°
W 54.755859°		 ← 1 132.68 m → S 62.380185°
W 54.733887°		 →
↑
1 132.51 m
↓
↑
1 132.51 m
↓
S 62.390370°
W 54.755859°		 ← 1 132.30 m →
1 282 553 m²		 S 62.390370°
W 54.733887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347930908203125 y=0.723358154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347930908203125 × 214)
    floor (0.347930908203125 × 16384)
    floor (5700.5)     		tx = 5700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723358154296875 × 214)
    floor (0.723358154296875 × 16384)
    floor (11851.5)     		ty = 11851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5700 / 11851 ti = "14/5700/11851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5700/11851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5700 ÷ 214
    5700 ÷ 16384     		x = 0.347900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11851 ÷ 214
    11851 ÷ 16384     		y = 0.72332763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347900390625 × 2 - 1) × π
    -0.30419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95567003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72332763671875 × 2 - 1) × π
    -0.4466552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40320892567828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95567003} λ = -0.95567003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40320892567828))-π/2
    2×atan(0.24580692088449)-π/2
    2×0.241028358854669-π/2
    0.482056717709337-1.57079632675     		φ = -1.08873961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95567003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.755859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08873961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.380185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5700 KachelY 11851 -0.95567003 -1.08873961 -54.755859 -62.380185
    Oben rechts KachelX + 1 5701 KachelY 11851 -0.95528654 -1.08873961 -54.733887 -62.380185
    Unten links KachelX 5700 KachelY + 1 11852 -0.95567003 -1.08891737 -54.755859 -62.390370
    Unten rechts KachelX + 1 5701 KachelY + 1 11852 -0.95528654 -1.08891737 -54.733887 -62.390370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08873961--1.08891737) × R
    0.000177760000000138 × 6371000     		dl = 1132.50896000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08873961--1.08891737) × R
    0.000177760000000138 × 6371000     		dr = 1132.50896000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95567003--0.95528654) × cos(-1.08873961) × R
    0.000383489999999931 × 0.463602494927995 × 6371000     		do = 1132.68047228877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95567003--0.95528654) × cos(-1.08891737) × R
    0.000383489999999931 × 0.463444984547496 × 6371000     		du = 1132.29564059756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08873961)-sin(-1.08891737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463602494927995-0.463444984547496)×R²
    abs(-0.95528654--0.95567003)×0.000157510380498882×R²
    0.000383489999999931×0.000157510380498882×6371000²
    0.000383489999999931×0.000157510380498882×40589641000000     		ar = 1282552.8743925m²