Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56999 / 29819
↖ ↑ ↗
← N 69.539319°
W 23.447571°		 ← 106.74 m → N 69.539319°
W 23.444824°		 →
↑
106.78 m
↓
↑
106.78 m
↓
N 69.538358°
W 23.447571°		 ← 106.75 m →
11 398 m²		 N 69.538358°
W 23.444824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434871673583984 y=0.227504730224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434871673583984 × 217)
    floor (0.434871673583984 × 131072)
    floor (56999.5)     		tx = 56999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227504730224609 × 217)
    floor (0.227504730224609 × 131072)
    floor (29819.5)     		ty = 29819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56999 / 29819 ti = "17/56999/29819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56999/29819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56999 ÷ 217
    56999 ÷ 131072     		x = 0.434867858886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29819 ÷ 217
    29819 ÷ 131072     		y = 0.227500915527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434867858886719 × 2 - 1) × π
    -0.130264282226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.40923731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227500915527344 × 2 - 1) × π
    0.544998168945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.71216224372955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40923731} λ = -0.40923731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71216224372955))-π/2
    2×atan(5.54092937400156)-π/2
    2×1.39224319891237-π/2
    2.78448639782475-1.57079632675     		φ = 1.21369007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40923731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.447571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21369007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.539319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56999 KachelY 29819 -0.40923731 1.21369007 -23.447571 69.539319
    Oben rechts KachelX + 1 57000 KachelY 29819 -0.40918938 1.21369007 -23.444824 69.539319
    Unten links KachelX 56999 KachelY + 1 29820 -0.40923731 1.21367331 -23.447571 69.538358
    Unten rechts KachelX + 1 57000 KachelY + 1 29820 -0.40918938 1.21367331 -23.444824 69.538358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21369007-1.21367331) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dl = 106.777960000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21369007-1.21367331) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dr = 106.777960000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40923731--0.40918938) × cos(1.21369007) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349564517053482 × 6371000     		do = 106.743730543486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40923731--0.40918938) × cos(1.21367331) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349580219654449 × 6371000     		du = 106.748525521594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21369007)-sin(1.21367331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349564517053482-0.349580219654449)×R²
    abs(-0.40918938--0.40923731)×1.57026009666716e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57026009666716e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57026009666716e-05×40589641000000     		ar = 11398.1337894298m²