Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56998 / 42350
↖ ↑ ↗
← N 53.569676°
W 23.450317°		 ← 181.38 m → N 53.569676°
W 23.447571°		 →
↑
181.38 m
↓
↑
181.38 m
↓
N 53.568045°
W 23.450317°		 ← 181.38 m →
32 899 m²		 N 53.568045°
W 23.447571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434864044189453 y=0.323108673095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434864044189453 × 217)
    floor (0.434864044189453 × 131072)
    floor (56998.5)     		tx = 56998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323108673095703 × 217)
    floor (0.323108673095703 × 131072)
    floor (42350.5)     		ty = 42350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56998 / 42350 ti = "17/56998/42350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56998/42350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56998 ÷ 217
    56998 ÷ 131072     		x = 0.434860229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42350 ÷ 217
    42350 ÷ 131072     		y = 0.323104858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434860229492188 × 2 - 1) × π
    -0.130279541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40928525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323104858398438 × 2 - 1) × π
    0.353790283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11146495459062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40928525} λ = -0.40928525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11146495459062))-π/2
    2×atan(3.03880684929181)-π/2
    2×1.25288177929032-π/2
    2.50576355858064-1.57079632675     		φ = 0.93496723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40928525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.450317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93496723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.569676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56998 KachelY 42350 -0.40928525 0.93496723 -23.450317 53.569676
    Oben rechts KachelX + 1 56999 KachelY 42350 -0.40923731 0.93496723 -23.447571 53.569676
    Unten links KachelX 56998 KachelY + 1 42351 -0.40928525 0.93493876 -23.450317 53.568045
    Unten rechts KachelX + 1 56999 KachelY + 1 42351 -0.40923731 0.93493876 -23.447571 53.568045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93496723-0.93493876) × R
    2.84700000000582e-05 × 6371000     		dl = 181.382370000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93496723-0.93493876) × R
    2.84700000000582e-05 × 6371000     		dr = 181.382370000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40928525--0.40923731) × cos(0.93496723) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.593844792767006 × 6371000     		do = 181.375485275891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40928525--0.40923731) × cos(0.93493876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.593867698908067 × 6371000     		du = 181.382481400975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93496723)-sin(0.93493876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593844792767006-0.593867698908067)×R²
    abs(-0.40923731--0.40928525)×2.29061410608189e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29061410608189e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29061410608189e-05×40589641000000     		ar = 32898.949868386m²