Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56996 / 42356
↖ ↑ ↗
← N 53.559889°
W 23.455810°		 ← 181.38 m → N 53.559889°
W 23.453064°		 →
↑
181.38 m
↓
↑
181.38 m
↓
N 53.558258°
W 23.455810°		 ← 181.39 m →
32 900 m²		 N 53.558258°
W 23.453064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434848785400391 y=0.323154449462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434848785400391 × 217)
    floor (0.434848785400391 × 131072)
    floor (56996.5)     		tx = 56996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323154449462891 × 217)
    floor (0.323154449462891 × 131072)
    floor (42356.5)     		ty = 42356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56996 / 42356 ti = "17/56996/42356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56996/42356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56996 ÷ 217
    56996 ÷ 131072     		x = 0.434844970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42356 ÷ 217
    42356 ÷ 131072     		y = 0.323150634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434844970703125 × 2 - 1) × π
    -0.13031005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40938112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323150634765625 × 2 - 1) × π
    0.35369873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1111773331929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40938112} λ = -0.40938112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1111773331929))-π/2
    2×atan(3.03793294910064)-π/2
    2×1.25279636817398-π/2
    2.50559273634797-1.57079632675     		φ = 0.93479641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40938112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.455810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93479641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.559889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56996 KachelY 42356 -0.40938112 0.93479641 -23.455810 53.559889
    Oben rechts KachelX + 1 56997 KachelY 42356 -0.40933319 0.93479641 -23.453064 53.559889
    Unten links KachelX 56996 KachelY + 1 42357 -0.40938112 0.93476794 -23.455810 53.558258
    Unten rechts KachelX + 1 56997 KachelY + 1 42357 -0.40933319 0.93476794 -23.453064 53.558258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93479641-0.93476794) × R
    2.84700000000582e-05 × 6371000     		dl = 181.382370000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93479641-0.93476794) × R
    2.84700000000582e-05 × 6371000     		dr = 181.382370000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40938112--0.40933319) × cos(0.93479641) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.593982222392688 × 6371000     		do = 181.379617213644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40938112--0.40933319) × cos(0.93476794) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.594005125645346 × 6371000     		du = 181.386610997369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93479641)-sin(0.93476794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593982222392688-0.594005125645346)×R²
    abs(-0.40933319--0.40938112)×2.29032526579687e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.29032526579687e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.29032526579687e-05×40589641000000     		ar = 32899.699116577m²