Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56994 / 29790
↖ ↑ ↗
← N 69.567144°
W 23.461304°		 ← 106.63 m → N 69.567144°
W 23.458557°		 →
↑
106.65 m
↓
↑
106.65 m
↓
N 69.566185°
W 23.461304°		 ← 106.63 m →
11 372 m²		 N 69.566185°
W 23.458557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434833526611328 y=0.227283477783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434833526611328 × 217)
    floor (0.434833526611328 × 131072)
    floor (56994.5)     		tx = 56994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227283477783203 × 217)
    floor (0.227283477783203 × 131072)
    floor (29790.5)     		ty = 29790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56994 / 29790 ti = "17/56994/29790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56994/29790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56994 ÷ 217
    56994 ÷ 131072     		x = 0.434829711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29790 ÷ 217
    29790 ÷ 131072     		y = 0.227279663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434829711914062 × 2 - 1) × π
    -0.130340576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40947700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227279663085938 × 2 - 1) × π
    0.545440673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71355241381853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40947700} λ = -0.40947700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71355241381853))-π/2
    2×atan(5.54863756488927)-π/2
    2×1.39248601780386-π/2
    2.78497203560772-1.57079632675     		φ = 1.21417571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40947700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.461304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21417571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.567144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56994 KachelY 29790 -0.40947700 1.21417571 -23.461304 69.567144
    Oben rechts KachelX + 1 56995 KachelY 29790 -0.40942906 1.21417571 -23.458557 69.567144
    Unten links KachelX 56994 KachelY + 1 29791 -0.40947700 1.21415897 -23.461304 69.566185
    Unten rechts KachelX + 1 56995 KachelY + 1 29791 -0.40942906 1.21415897 -23.458557 69.566185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21417571-1.21415897) × R
    1.67399999999596e-05 × 6371000     		dl = 106.650539999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21417571-1.21415897) × R
    1.67399999999596e-05 × 6371000     		dr = 106.650539999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40947700--0.40942906) × cos(1.21417571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349109473762718 × 6371000     		do = 106.627019364919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40947700--0.40942906) × cos(1.21415897) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349125160465595 × 6371000     		du = 106.631810487753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21417571)-sin(1.21415897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349109473762718-0.349125160465595)×R²
    abs(-0.40942906--0.40947700)×1.5686702876383e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5686702876383e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5686702876383e-05×40589641000000     		ar = 11372.0846820035m²