Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56994 / 29789
↖ ↑ ↗
← N 69.568102°
W 23.461304°		 ← 106.62 m → N 69.568102°
W 23.458557°		 →
↑
106.59 m
↓
↑
106.59 m
↓
N 69.567144°
W 23.461304°		 ← 106.63 m →
11 365 m²		 N 69.567144°
W 23.458557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434833526611328 y=0.227275848388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434833526611328 × 217)
    floor (0.434833526611328 × 131072)
    floor (56994.5)     		tx = 56994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227275848388672 × 217)
    floor (0.227275848388672 × 131072)
    floor (29789.5)     		ty = 29789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56994 / 29789 ti = "17/56994/29789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56994/29789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56994 ÷ 217
    56994 ÷ 131072     		x = 0.434829711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29789 ÷ 217
    29789 ÷ 131072     		y = 0.227272033691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434829711914062 × 2 - 1) × π
    -0.130340576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40947700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227272033691406 × 2 - 1) × π
    0.545455932617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.71360035071815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40947700} λ = -0.40947700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71360035071815))-π/2
    2×atan(5.54890355574658)-π/2
    2×1.39249438522885-π/2
    2.7849887704577-1.57079632675     		φ = 1.21419244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40947700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.461304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21419244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.568102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56994 KachelY 29789 -0.40947700 1.21419244 -23.461304 69.568102
    Oben rechts KachelX + 1 56995 KachelY 29789 -0.40942906 1.21419244 -23.458557 69.568102
    Unten links KachelX 56994 KachelY + 1 29790 -0.40947700 1.21417571 -23.461304 69.567144
    Unten rechts KachelX + 1 56995 KachelY + 1 29790 -0.40942906 1.21417571 -23.458557 69.567144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21419244-1.21417571) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000     		dl = 106.58683000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21419244-1.21417571) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000     		dr = 106.58683000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40947700--0.40942906) × cos(1.21419244) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34909379633289 × 6371000     		do = 106.622231074312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40947700--0.40942906) × cos(1.21417571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349109473762718 × 6371000     		du = 106.627019364919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21419244)-sin(1.21417571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34909379633289-0.349109473762718)×R²
    abs(-0.40942906--0.40947700)×1.56774298286089e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56774298286089e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56774298286089e-05×40589641000000     		ar = 11364.7808023051m²