Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56993 / 29793
↖ ↑ ↗
← N 69.564267°
W 23.464050°		 ← 106.62 m → N 69.564267°
W 23.461304°		 →
↑
106.65 m
↓
↑
106.65 m
↓
N 69.563308°
W 23.464050°		 ← 106.62 m →
11 371 m²		 N 69.563308°
W 23.461304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434825897216797 y=0.227306365966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434825897216797 × 217)
    floor (0.434825897216797 × 131072)
    floor (56993.5)     		tx = 56993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227306365966797 × 217)
    floor (0.227306365966797 × 131072)
    floor (29793.5)     		ty = 29793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56993 / 29793 ti = "17/56993/29793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56993/29793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56993 ÷ 217
    56993 ÷ 131072     		x = 0.434822082519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29793 ÷ 217
    29793 ÷ 131072     		y = 0.227302551269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434822082519531 × 2 - 1) × π
    -0.130355834960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.40952493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227302551269531 × 2 - 1) × π
    0.545394897460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.71340860311967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40952493} λ = -0.40952493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71340860311967))-π/2
    2×atan(5.54783966881771)-π/2
    2×1.39246091327356-π/2
    2.78492182654711-1.57079632675     		φ = 1.21412550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40952493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.464050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21412550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.564267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56993 KachelY 29793 -0.40952493 1.21412550 -23.464050 69.564267
    Oben rechts KachelX + 1 56994 KachelY 29793 -0.40947700 1.21412550 -23.461304 69.564267
    Unten links KachelX 56993 KachelY + 1 29794 -0.40952493 1.21410876 -23.464050 69.563308
    Unten rechts KachelX + 1 56994 KachelY + 1 29794 -0.40947700 1.21410876 -23.461304 69.563308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21412550-1.21410876) × R
    1.67399999999596e-05 × 6371000     		dl = 106.650539999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21412550-1.21410876) × R
    1.67399999999596e-05 × 6371000     		dr = 106.650539999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40952493--0.40947700) × cos(1.21412550) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349156524207195 × 6371000     		do = 106.619145019719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40952493--0.40947700) × cos(1.21410876) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349172210616614 × 6371000     		du = 106.623935053542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21412550)-sin(1.21410876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349156524207195-0.349172210616614)×R²
    abs(-0.40947700--0.40952493)×1.56864094181253e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56864094181253e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56864094181253e-05×40589641000000     		ar = 11371.2448207314m²