Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56991 / 43953
↖ ↑ ↗
← N 50.873578°
W 23.469544°		 ← 192.73 m → N 50.873578°
W 23.466797°		 →
↑
192.72 m
↓
↑
192.72 m
↓
N 50.871845°
W 23.469544°		 ← 192.74 m →
37 145 m²		 N 50.871845°
W 23.466797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434810638427734 y=0.335338592529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434810638427734 × 217)
    floor (0.434810638427734 × 131072)
    floor (56991.5)     		tx = 56991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335338592529297 × 217)
    floor (0.335338592529297 × 131072)
    floor (43953.5)     		ty = 43953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56991 / 43953 ti = "17/56991/43953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56991/43953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56991 ÷ 217
    56991 ÷ 131072     		x = 0.434806823730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43953 ÷ 217
    43953 ÷ 131072     		y = 0.335334777832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434806823730469 × 2 - 1) × π
    -0.130386352539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.40962081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335334777832031 × 2 - 1) × π
    0.329330444335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.03462210449967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40962081} λ = -0.40962081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03462210449967))-π/2
    2×atan(2.81404262062499)-π/2
    2×1.22935388247579-π/2
    2.45870776495159-1.57079632675     		φ = 0.88791144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40962081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.469544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88791144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.873578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56991 KachelY 43953 -0.40962081 0.88791144 -23.469544 50.873578
    Oben rechts KachelX + 1 56992 KachelY 43953 -0.40957287 0.88791144 -23.466797 50.873578
    Unten links KachelX 56991 KachelY + 1 43954 -0.40962081 0.88788119 -23.469544 50.871845
    Unten rechts KachelX + 1 56992 KachelY + 1 43954 -0.40957287 0.88788119 -23.466797 50.871845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88791144-0.88788119) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dl = 192.72275000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88791144-0.88788119) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dr = 192.72275000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40962081--0.40957287) × cos(0.88791144) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.631033613589585 × 6371000     		do = 192.73390839557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40962081--0.40957287) × cos(0.88788119) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.631057079904402 × 6371000     		du = 192.741075612138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88791144)-sin(0.88788119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631033613589585-0.631057079904402)×R²
    abs(-0.40957287--0.40962081)×2.34663148173109e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34663148173109e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34663148173109e-05×40589641000000     		ar = 37144.8994898833m²