Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56991 / 29143
↖ ↑ ↗
← N 70.178584°
W 23.469544°		 ← 103.57 m → N 70.178584°
W 23.466797°		 →
↑
103.53 m
↓
↑
103.53 m
↓
N 70.177653°
W 23.469544°		 ← 103.57 m →
10 722 m²		 N 70.177653°
W 23.466797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434810638427734 y=0.222347259521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434810638427734 × 217)
    floor (0.434810638427734 × 131072)
    floor (56991.5)     		tx = 56991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222347259521484 × 217)
    floor (0.222347259521484 × 131072)
    floor (29143.5)     		ty = 29143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56991 / 29143 ti = "17/56991/29143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56991/29143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56991 ÷ 217
    56991 ÷ 131072     		x = 0.434806823730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29143 ÷ 217
    29143 ÷ 131072     		y = 0.222343444824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434806823730469 × 2 - 1) × π
    -0.130386352539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.40962081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222343444824219 × 2 - 1) × π
    0.555313110351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.7445675878727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40962081} λ = -0.40962081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7445675878727))-π/2
    2×atan(5.72342606142172)-π/2
    2×1.39782184467085-π/2
    2.7956436893417-1.57079632675     		φ = 1.22484736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40962081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.469544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22484736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.178584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56991 KachelY 29143 -0.40962081 1.22484736 -23.469544 70.178584
    Oben rechts KachelX + 1 56992 KachelY 29143 -0.40957287 1.22484736 -23.466797 70.178584
    Unten links KachelX 56991 KachelY + 1 29144 -0.40962081 1.22483111 -23.469544 70.177653
    Unten rechts KachelX + 1 56992 KachelY + 1 29144 -0.40957287 1.22483111 -23.466797 70.177653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22484736-1.22483111) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dl = 103.528750000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22484736-1.22483111) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dr = 103.528750000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40962081--0.40957287) × cos(1.22484736) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.339089574190305 × 6371000     		do = 103.566684123411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40962081--0.40957287) × cos(1.22483111) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.339104861399521 × 6371000     		du = 103.571353230598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22484736)-sin(1.22483111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339089574190305-0.339104861399521)×R²
    abs(-0.40957287--0.40962081)×1.52872092158418e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.52872092158418e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.52872092158418e-05×40589641000000     		ar = 10722.3710427101m²