Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56991 / 29140
↖ ↑ ↗
← N 70.181378°
W 23.469544°		 ← 103.55 m → N 70.181378°
W 23.466797°		 →
↑
103.53 m
↓
↑
103.53 m
↓
N 70.180447°
W 23.469544°		 ← 103.56 m →
10 721 m²		 N 70.180447°
W 23.466797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434810638427734 y=0.222324371337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434810638427734 × 217)
    floor (0.434810638427734 × 131072)
    floor (56991.5)     		tx = 56991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222324371337891 × 217)
    floor (0.222324371337891 × 131072)
    floor (29140.5)     		ty = 29140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56991 / 29140 ti = "17/56991/29140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56991/29140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56991 ÷ 217
    56991 ÷ 131072     		x = 0.434806823730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29140 ÷ 217
    29140 ÷ 131072     		y = 0.222320556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434806823730469 × 2 - 1) × π
    -0.130386352539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.40962081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222320556640625 × 2 - 1) × π
    0.55535888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74471139857156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40962081} λ = -0.40962081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74471139857156))-π/2
    2×atan(5.72424921051089)-π/2
    2×1.39784622537571-π/2
    2.79569245075142-1.57079632675     		φ = 1.22489612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40962081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.469544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22489612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.181378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56991 KachelY 29140 -0.40962081 1.22489612 -23.469544 70.181378
    Oben rechts KachelX + 1 56992 KachelY 29140 -0.40957287 1.22489612 -23.466797 70.181378
    Unten links KachelX 56991 KachelY + 1 29141 -0.40962081 1.22487987 -23.469544 70.180447
    Unten rechts KachelX + 1 56992 KachelY + 1 29141 -0.40957287 1.22487987 -23.466797 70.180447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22489612-1.22487987) × R
    1.62499999998289e-05 × 6371000     		dl = 103.52874999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22489612-1.22487987) × R
    1.62499999998289e-05 × 6371000     		dr = 103.52874999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40962081--0.40957287) × cos(1.22489612) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.339043702617723 × 6371000     		do = 103.55267376441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40962081--0.40957287) × cos(1.22487987) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.339058990095604 × 6371000     		du = 103.557342953654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22489612)-sin(1.22487987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339043702617723-0.339058990095604)×R²
    abs(-0.40957287--0.40962081)×1.5287477881154e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.5287477881154e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.5287477881154e-05×40589641000000     		ar = 10720.9205718406m²