Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5699 / 2886
↖ ↑ ↗
← N 81.404086°
W117.388916°		 ← 182.59 m → N 81.404086°
W117.377930°		 →
↑
182.59 m
↓
↑
182.59 m
↓
N 81.402444°
W117.388916°		 ← 182.63 m →
33 343 m²		 N 81.402444°
W117.377930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.173934936523438 y=0.0880889892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.173934936523438 × 215)
    floor (0.173934936523438 × 32768)
    floor (5699.5)     		tx = 5699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0880889892578125 × 215)
    floor (0.0880889892578125 × 32768)
    floor (2886.5)     		ty = 2886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5699 / 2886 ti = "15/5699/2886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5699/2886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5699 ÷ 215
    5699 ÷ 32768     		x = 0.173919677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2886 ÷ 215
    2886 ÷ 32768     		y = 0.08807373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.173919677734375 × 2 - 1) × π
    -0.65216064453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.04882309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08807373046875 × 2 - 1) × π
    0.8238525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58820908428607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.04882309} λ = -2.04882309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58820908428607))-π/2
    2×atan(13.3059204698283)-π/2
    2×1.49578283010674-π/2
    2.99156566021348-1.57079632675     		φ = 1.42076933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.04882309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -117.388916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42076933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.404086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5699 KachelY 2886 -2.04882309 1.42076933 -117.388916 81.404086
    Oben rechts KachelX + 1 5700 KachelY 2886 -2.04863134 1.42076933 -117.377930 81.404086
    Unten links KachelX 5699 KachelY + 1 2887 -2.04882309 1.42074067 -117.388916 81.402444
    Unten rechts KachelX + 1 5700 KachelY + 1 2887 -2.04863134 1.42074067 -117.377930 81.402444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42076933-1.42074067) × R
    2.86599999999027e-05 × 6371000     		dl = 182.59285999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42076933-1.42074067) × R
    2.86599999999027e-05 × 6371000     		dr = 182.59285999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.04882309--2.04863134) × cos(1.42076933) × R
    0.000191749999999935 × 0.14946482606913 × 6371000     		do = 182.59209802041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.04882309--2.04863134) × cos(1.42074067) × R
    0.000191749999999935 × 0.1494931640712 × 6371000     		du = 182.626716836005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42076933)-sin(1.42074067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14946482606913-0.1494931640712)×R²
    abs(-2.04863134--2.04882309)×2.83380020699719e-05×R²
    0.000191749999999935×2.83380020699719e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.83380020699719e-05×40589641000000     		ar = 33343.173966735m²