Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5699 / 11842
↖ ↑ ↗
← S 62.288365°
W 54.777832°		 ← 1 136.18 m → S 62.288365°
W 54.755859°		 →
↑
1 135.95 m
↓
↑
1 135.95 m
↓
S 62.298581°
W 54.777832°		 ← 1 135.79 m →
1 290 421 m²		 S 62.298581°
W 54.755859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347869873046875 y=0.722808837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347869873046875 × 214)
    floor (0.347869873046875 × 16384)
    floor (5699.5)     		tx = 5699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722808837890625 × 214)
    floor (0.722808837890625 × 16384)
    floor (11842.5)     		ty = 11842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5699 / 11842 ti = "14/5699/11842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5699/11842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5699 ÷ 214
    5699 ÷ 16384     		x = 0.34783935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11842 ÷ 214
    11842 ÷ 16384     		y = 0.7227783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34783935546875 × 2 - 1) × π
    -0.3043212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.95605353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7227783203125 × 2 - 1) × π
    -0.445556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39975746890564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95605353} λ = -0.95605353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39975746890564))-π/2
    2×atan(0.246656778626304)-π/2
    2×0.241829635082372-π/2
    0.483659270164745-1.57079632675     		φ = -1.08713706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95605353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.777832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08713706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.288365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5699 KachelY 11842 -0.95605353 -1.08713706 -54.777832 -62.288365
    Oben rechts KachelX + 1 5700 KachelY 11842 -0.95567003 -1.08713706 -54.755859 -62.288365
    Unten links KachelX 5699 KachelY + 1 11843 -0.95605353 -1.08731536 -54.777832 -62.298581
    Unten rechts KachelX + 1 5700 KachelY + 1 11843 -0.95567003 -1.08731536 -54.755859 -62.298581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08713706--1.08731536) × R
    0.000178299999999965 × 6371000     		dl = 1135.94929999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08713706--1.08731536) × R
    0.000178299999999965 × 6371000     		dr = 1135.94929999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95605353--0.95567003) × cos(-1.08713706) × R
    0.000383500000000092 × 0.465021827704057 × 6371000     		do = 1136.1778336603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95605353--0.95567003) × cos(-1.08731536) × R
    0.000383500000000092 × 0.464863971463163 × 6371000     		du = 1135.79214690083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08713706)-sin(-1.08731536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465021827704057-0.464863971463163)×R²
    abs(-0.95567003--0.95605353)×0.000157856240894649×R²
    0.000383500000000092×0.000157856240894649×6371000²
    0.000383500000000092×0.000157856240894649×40589641000000     		ar = 1290421.35793786m²