Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56989 / 29142
↖ ↑ ↗
← N 70.179516°
W 23.475037°		 ← 103.56 m → N 70.179516°
W 23.472290°		 →
↑
103.59 m
↓
↑
103.59 m
↓
N 70.178584°
W 23.475037°		 ← 103.57 m →
10 728 m²		 N 70.178584°
W 23.472290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434795379638672 y=0.222339630126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434795379638672 × 217)
    floor (0.434795379638672 × 131072)
    floor (56989.5)     		tx = 56989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222339630126953 × 217)
    floor (0.222339630126953 × 131072)
    floor (29142.5)     		ty = 29142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56989 / 29142 ti = "17/56989/29142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56989/29142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56989 ÷ 217
    56989 ÷ 131072     		x = 0.434791564941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29142 ÷ 217
    29142 ÷ 131072     		y = 0.222335815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434791564941406 × 2 - 1) × π
    -0.130416870117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.40971668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222335815429688 × 2 - 1) × π
    0.555328369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74461552477232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40971668} λ = -0.40971668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74461552477232))-π/2
    2×atan(5.72370043129847)-π/2
    2×1.39782997193897-π/2
    2.79565994387794-1.57079632675     		φ = 1.22486362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40971668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.475037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22486362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.179516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56989 KachelY 29142 -0.40971668 1.22486362 -23.475037 70.179516
    Oben rechts KachelX + 1 56990 KachelY 29142 -0.40966874 1.22486362 -23.472290 70.179516
    Unten links KachelX 56989 KachelY + 1 29143 -0.40971668 1.22484736 -23.475037 70.178584
    Unten rechts KachelX + 1 56990 KachelY + 1 29143 -0.40966874 1.22484736 -23.472290 70.178584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22486362-1.22484736) × R
    1.62599999999902e-05 × 6371000     		dl = 103.592459999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22486362-1.22484736) × R
    1.62599999999902e-05 × 6371000     		dr = 103.592459999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40971668--0.40966874) × cos(1.22486362) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.339074277483952 × 6371000     		do = 103.562012115554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40971668--0.40966874) × cos(1.22484736) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.339089574190305 × 6371000     		du = 103.566684123411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22486362)-sin(1.22484736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339074277483952-0.339089574190305)×R²
    abs(-0.40966874--0.40971668)×1.52967063526965e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.52967063526965e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.52967063526965e-05×40589641000000     		ar = 10728.4855901529m²