Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56987 / 8869
↖ ↑ ↗
← N 78.449927°
E133.038940°		 ← 122.31 m → N 78.449927°
E133.044434°		 →
↑
122.32 m
↓
↑
122.32 m
↓
N 78.448827°
E133.038940°		 ← 122.32 m →
14 962 m²		 N 78.448827°
E133.044434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869560241699219 y=0.135337829589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869560241699219 × 216)
    floor (0.869560241699219 × 65536)
    floor (56987.5)     		tx = 56987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135337829589844 × 216)
    floor (0.135337829589844 × 65536)
    floor (8869.5)     		ty = 8869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56987 / 8869 ti = "16/56987/8869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56987/8869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56987 ÷ 216
    56987 ÷ 65536     		x = 0.869552612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8869 ÷ 216
    8869 ÷ 65536     		y = 0.135330200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869552612304688 × 2 - 1) × π
    0.739105224609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32196754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135330200195312 × 2 - 1) × π
    0.729339599609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.29128792803944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32196754} λ = 2.32196754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29128792803944))-π/2
    2×atan(9.88766408388681)-π/2
    2×1.47000292813887-π/2
    2.94000585627774-1.57079632675     		φ = 1.36920953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32196754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.038940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36920953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.449927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56987 KachelY 8869 2.32196754 1.36920953 133.038940 78.449927
    Oben rechts KachelX + 1 56988 KachelY 8869 2.32206342 1.36920953 133.044434 78.449927
    Unten links KachelX 56987 KachelY + 1 8870 2.32196754 1.36919033 133.038940 78.448827
    Unten rechts KachelX + 1 56988 KachelY + 1 8870 2.32206342 1.36919033 133.044434 78.448827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36920953-1.36919033) × R
    1.9200000000108e-05 × 6371000     		dl = 122.323200000688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36920953-1.36919033) × R
    1.9200000000108e-05 × 6371000     		dr = 122.323200000688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32196754-2.32206342) × cos(1.36920953) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.200224246529841 × 6371000     		do = 122.307277324558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32196754-2.32206342) × cos(1.36919033) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.200243057694782 × 6371000     		du = 122.318768152503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36920953)-sin(1.36919033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200224246529841-0.200243057694782)×R²
    abs(2.32206342-2.32196754)×1.88111649416234e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.88111649416234e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.88111649416234e-05×40589641000000     		ar = 14961.7203435089m²