Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56985 / 29145
↖ ↑ ↗
← N 70.176722°
W 23.486023°		 ← 103.58 m → N 70.176722°
W 23.483276°		 →
↑
103.59 m
↓
↑
103.59 m
↓
N 70.175790°
W 23.486023°		 ← 103.58 m →
10 730 m²		 N 70.175790°
W 23.483276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434764862060547 y=0.222362518310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434764862060547 × 217)
    floor (0.434764862060547 × 131072)
    floor (56985.5)     		tx = 56985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222362518310547 × 217)
    floor (0.222362518310547 × 131072)
    floor (29145.5)     		ty = 29145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56985 / 29145 ti = "17/56985/29145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56985/29145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56985 ÷ 217
    56985 ÷ 131072     		x = 0.434761047363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29145 ÷ 217
    29145 ÷ 131072     		y = 0.222358703613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434761047363281 × 2 - 1) × π
    -0.130477905273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.40990843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222358703613281 × 2 - 1) × π
    0.555282592773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.74447171407346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40990843} λ = -0.40990843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74447171407346))-π/2
    2×atan(5.72287736112395)-π/2
    2×1.39780558903502-π/2
    2.79561117807004-1.57079632675     		φ = 1.22481485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40990843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.486023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22481485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.176722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56985 KachelY 29145 -0.40990843 1.22481485 -23.486023 70.176722
    Oben rechts KachelX + 1 56986 KachelY 29145 -0.40986049 1.22481485 -23.483276 70.176722
    Unten links KachelX 56985 KachelY + 1 29146 -0.40990843 1.22479859 -23.486023 70.175790
    Unten rechts KachelX + 1 56986 KachelY + 1 29146 -0.40986049 1.22479859 -23.483276 70.175790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22481485-1.22479859) × R
    1.62599999999902e-05 × 6371000     		dl = 103.592459999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22481485-1.22479859) × R
    1.62599999999902e-05 × 6371000     		dr = 103.592459999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40990843--0.40986049) × cos(1.22481485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339120157926623 × 6371000     		do = 103.576025183588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40990843--0.40986049) × cos(1.22479859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339135454364065 × 6371000     		du = 103.580697109313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22481485)-sin(1.22479859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339120157926623-0.339135454364065)×R²
    abs(-0.40986049--0.40990843)×1.52964374424136e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52964374424136e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52964374424136e-05×40589641000000     		ar = 10729.9372342943m²