Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56984 / 8905
↖ ↑ ↗
← N 78.410265°
E133.022461°		 ← 122.72 m → N 78.410265°
E133.027954°		 →
↑
122.71 m
↓
↑
122.71 m
↓
N 78.409161°
E133.022461°		 ← 122.73 m →
15 059 m²		 N 78.409161°
E133.027954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869514465332031 y=0.135887145996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869514465332031 × 216)
    floor (0.869514465332031 × 65536)
    floor (56984.5)     		tx = 56984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135887145996094 × 216)
    floor (0.135887145996094 × 65536)
    floor (8905.5)     		ty = 8905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56984 / 8905 ti = "16/56984/8905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56984/8905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56984 ÷ 216
    56984 ÷ 65536     		x = 0.8695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8905 ÷ 216
    8905 ÷ 65536     		y = 0.135879516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8695068359375 × 2 - 1) × π
    0.739013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.32167992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135879516601562 × 2 - 1) × π
    0.728240966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2878364712668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32167992} λ = 2.32167992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2878364712668))-π/2
    2×atan(9.8535960646864)-π/2
    2×1.46965681062006-π/2
    2.93931362124012-1.57079632675     		φ = 1.36851729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32167992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.022461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36851729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.410265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56984 KachelY 8905 2.32167992 1.36851729 133.022461 78.410265
    Oben rechts KachelX + 1 56985 KachelY 8905 2.32177580 1.36851729 133.027954 78.410265
    Unten links KachelX 56984 KachelY + 1 8906 2.32167992 1.36849803 133.022461 78.409161
    Unten rechts KachelX + 1 56985 KachelY + 1 8906 2.32177580 1.36849803 133.027954 78.409161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36851729-1.36849803) × R
    1.92599999999654e-05 × 6371000     		dl = 122.70545999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36851729-1.36849803) × R
    1.92599999999654e-05 × 6371000     		dr = 122.70545999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32167992-2.32177580) × cos(1.36851729) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.200902420708953 × 6371000     		do = 122.721541026135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32167992-2.32177580) × cos(1.36849803) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.200921287984524 × 6371000     		du = 122.733066129341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36851729)-sin(1.36849803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200902420708953-0.200921287984524)×R²
    abs(2.32177580-2.32167992)×1.88672755711827e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.88672755711827e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.88672755711827e-05×40589641000000     		ar = 15059.3102403669m²