Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56984 / 42744
↖ ↑ ↗
← N 52.922151°
W 23.488770°		 ← 184.14 m → N 52.922151°
W 23.486023°		 →
↑
184.12 m
↓
↑
184.12 m
↓
N 52.920496°
W 23.488770°		 ← 184.15 m →
33 905 m²		 N 52.920496°
W 23.486023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434757232666016 y=0.326114654541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434757232666016 × 217)
    floor (0.434757232666016 × 131072)
    floor (56984.5)     		tx = 56984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326114654541016 × 217)
    floor (0.326114654541016 × 131072)
    floor (42744.5)     		ty = 42744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56984 / 42744 ti = "17/56984/42744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56984/42744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56984 ÷ 217
    56984 ÷ 131072     		x = 0.43475341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42744 ÷ 217
    42744 ÷ 131072     		y = 0.32611083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43475341796875 × 2 - 1) × π
    -0.1304931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40995637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32611083984375 × 2 - 1) × π
    0.3477783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09257781614032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40995637} λ = -0.40995637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09257781614032))-π/2
    2×atan(2.98195109499799)-π/2
    2×1.2472310577959-π/2
    2.49446211559179-1.57079632675     		φ = 0.92366579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40995637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.488770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92366579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.922151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56984 KachelY 42744 -0.40995637 0.92366579 -23.488770 52.922151
    Oben rechts KachelX + 1 56985 KachelY 42744 -0.40990843 0.92366579 -23.486023 52.922151
    Unten links KachelX 56984 KachelY + 1 42745 -0.40995637 0.92363689 -23.488770 52.920496
    Unten rechts KachelX + 1 56985 KachelY + 1 42745 -0.40990843 0.92363689 -23.486023 52.920496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92366579-0.92363689) × R
    2.88999999999984e-05 × 6371000     		dl = 184.12189999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92366579-0.92363689) × R
    2.88999999999984e-05 × 6371000     		dr = 184.12189999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40995637--0.40990843) × cos(0.92366579) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.602899584206741 × 6371000     		do = 184.141051652129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40995637--0.40990843) × cos(0.92363689) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.602922640868544 × 6371000     		du = 184.148093750122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92366579)-sin(0.92363689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602899584206741-0.602922640868544)×R²
    abs(-0.40990843--0.40995637)×2.30566618028005e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30566618028005e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30566618028005e-05×40589641000000     		ar = 33905.0486028288m²