Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56983 / 44027
↖ ↑ ↗
← N 50.745146°
W 23.491516°		 ← 193.22 m → N 50.745146°
W 23.488770°		 →
↑
193.23 m
↓
↑
193.23 m
↓
N 50.743408°
W 23.491516°		 ← 193.23 m →
37 338 m²		 N 50.743408°
W 23.488770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434749603271484 y=0.335903167724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434749603271484 × 217)
    floor (0.434749603271484 × 131072)
    floor (56983.5)     		tx = 56983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335903167724609 × 217)
    floor (0.335903167724609 × 131072)
    floor (44027.5)     		ty = 44027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56983 / 44027 ti = "17/56983/44027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56983/44027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56983 ÷ 217
    56983 ÷ 131072     		x = 0.434745788574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44027 ÷ 217
    44027 ÷ 131072     		y = 0.335899353027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434745788574219 × 2 - 1) × π
    -0.130508422851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.41000430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335899353027344 × 2 - 1) × π
    0.328201293945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.03107477392779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41000430} λ = -0.41000430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03107477392779))-π/2
    2×atan(2.80407796561817)-π/2
    2×1.22823309958305-π/2
    2.4564661991661-1.57079632675     		φ = 0.88566987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41000430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.491516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88566987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.745146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56983 KachelY 44027 -0.41000430 0.88566987 -23.491516 50.745146
    Oben rechts KachelX + 1 56984 KachelY 44027 -0.40995637 0.88566987 -23.488770 50.745146
    Unten links KachelX 56983 KachelY + 1 44028 -0.41000430 0.88563954 -23.491516 50.743408
    Unten rechts KachelX + 1 56984 KachelY + 1 44028 -0.40995637 0.88563954 -23.488770 50.743408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88566987-0.88563954) × R
    3.03299999999673e-05 × 6371000     		dl = 193.232429999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88566987-0.88563954) × R
    3.03299999999673e-05 × 6371000     		dr = 193.232429999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41000430--0.40995637) × cos(0.88566987) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.632770937008089 × 6371000     		do = 193.224217849687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41000430--0.40995637) × cos(0.88563954) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.632794422419974 × 6371000     		du = 193.231389402735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88566987)-sin(0.88563954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632770937008089-0.632794422419974)×R²
    abs(-0.40995637--0.41000430)×2.34854118850158e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34854118850158e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34854118850158e-05×40589641000000     		ar = 37337.8780408969m²