Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56982 / 44028
↖ ↑ ↗
← N 50.743408°
W 23.494263°		 ← 193.27 m → N 50.743408°
W 23.491516°		 →
↑
193.30 m
↓
↑
193.30 m
↓
N 50.741669°
W 23.494263°		 ← 193.28 m →
37 359 m²		 N 50.741669°
W 23.491516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434741973876953 y=0.335910797119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434741973876953 × 217)
    floor (0.434741973876953 × 131072)
    floor (56982.5)     		tx = 56982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335910797119141 × 217)
    floor (0.335910797119141 × 131072)
    floor (44028.5)     		ty = 44028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56982 / 44028 ti = "17/56982/44028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56982/44028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56982 ÷ 217
    56982 ÷ 131072     		x = 0.434738159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44028 ÷ 217
    44028 ÷ 131072     		y = 0.335906982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434738159179688 × 2 - 1) × π
    -0.130523681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.41005224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335906982421875 × 2 - 1) × π
    0.32818603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03102683702817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41005224} λ = -0.41005224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03102683702817))-π/2
    2×atan(2.80394355003596)-π/2
    2×1.22821793276316-π/2
    2.45643586552632-1.57079632675     		φ = 0.88563954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41005224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.494263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88563954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.743408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56982 KachelY 44028 -0.41005224 0.88563954 -23.494263 50.743408
    Oben rechts KachelX + 1 56983 KachelY 44028 -0.41000430 0.88563954 -23.491516 50.743408
    Unten links KachelX 56982 KachelY + 1 44029 -0.41005224 0.88560920 -23.494263 50.741669
    Unten rechts KachelX + 1 56983 KachelY + 1 44029 -0.41000430 0.88560920 -23.491516 50.741669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88563954-0.88560920) × R
    3.03400000000176e-05 × 6371000     		dl = 193.296140000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88563954-0.88560920) × R
    3.03400000000176e-05 × 6371000     		dr = 193.296140000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41005224--0.41000430) × cos(0.88563954) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.632794422419974 × 6371000     		do = 193.27170473559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41005224--0.41000430) × cos(0.88560920) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.632817914992752 × 6371000     		du = 193.278879972016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88563954)-sin(0.88560920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632794422419974-0.632817914992752)×R²
    abs(-0.41000430--0.41005224)×2.34925727784496e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34925727784496e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34925727784496e-05×40589641000000     		ar = 37359.3679722952m²