Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56981 / 8907
↖ ↑ ↗
← N 78.408058°
E133.005981°		 ← 122.73 m → N 78.408058°
E133.011474°		 →
↑
122.77 m
↓
↑
122.77 m
↓
N 78.406954°
E133.005981°		 ← 122.74 m →
15 068 m²		 N 78.406954°
E133.011474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869468688964844 y=0.135917663574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869468688964844 × 216)
    floor (0.869468688964844 × 65536)
    floor (56981.5)     		tx = 56981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135917663574219 × 216)
    floor (0.135917663574219 × 65536)
    floor (8907.5)     		ty = 8907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56981 / 8907 ti = "16/56981/8907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56981/8907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56981 ÷ 216
    56981 ÷ 65536     		x = 0.869461059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8907 ÷ 216
    8907 ÷ 65536     		y = 0.135910034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869461059570312 × 2 - 1) × π
    0.738922119140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.32139230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135910034179688 × 2 - 1) × π
    0.728179931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28764472366832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32139230} λ = 2.32139230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28764472366832))-π/2
    2×atan(9.8517068424373)-π/2
    2×1.46963754753302-π/2
    2.93927509506604-1.57079632675     		φ = 1.36847877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32139230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.005981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36847877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.408058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56981 KachelY 8907 2.32139230 1.36847877 133.005981 78.408058
    Oben rechts KachelX + 1 56982 KachelY 8907 2.32148817 1.36847877 133.011474 78.408058
    Unten links KachelX 56981 KachelY + 1 8908 2.32139230 1.36845950 133.005981 78.406954
    Unten rechts KachelX + 1 56982 KachelY + 1 8908 2.32148817 1.36845950 133.011474 78.406954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36847877-1.36845950) × R
    1.92700000001267e-05 × 6371000     		dl = 122.769170000807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36847877-1.36845950) × R
    1.92700000001267e-05 × 6371000     		dr = 122.769170000807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32139230-2.32148817) × cos(1.36847877) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200940155185564 × 6371000     		do = 122.731789289242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32139230-2.32148817) × cos(1.36845950) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200959032108062 × 6371000     		du = 122.743319082639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36847877)-sin(1.36845950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200940155185564-0.200959032108062)×R²
    abs(2.32148817-2.32139230)×1.88769224982732e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.88769224982732e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.88769224982732e-05×40589641000000     		ar = 15068.3876557899m²