Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56981 / 44029
↖ ↑ ↗
← N 50.741669°
W 23.497009°		 ← 193.28 m → N 50.741669°
W 23.494263°		 →
↑
193.23 m
↓
↑
193.23 m
↓
N 50.739932°
W 23.497009°		 ← 193.29 m →
37 348 m²		 N 50.739932°
W 23.494263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434734344482422 y=0.335918426513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434734344482422 × 217)
    floor (0.434734344482422 × 131072)
    floor (56981.5)     		tx = 56981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335918426513672 × 217)
    floor (0.335918426513672 × 131072)
    floor (44029.5)     		ty = 44029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56981 / 44029 ti = "17/56981/44029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56981/44029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56981 ÷ 217
    56981 ÷ 131072     		x = 0.434730529785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44029 ÷ 217
    44029 ÷ 131072     		y = 0.335914611816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434730529785156 × 2 - 1) × π
    -0.130538940429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.41010018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335914611816406 × 2 - 1) × π
    0.328170776367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.03097890012855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41010018} λ = -0.41010018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03097890012855))-π/2
    2×atan(2.80380914089707)-π/2
    2×1.22820276538029-π/2
    2.45640553076058-1.57079632675     		φ = 0.88560920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41010018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.497009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88560920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.741669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56981 KachelY 44029 -0.41010018 0.88560920 -23.497009 50.741669
    Oben rechts KachelX + 1 56982 KachelY 44029 -0.41005224 0.88560920 -23.494263 50.741669
    Unten links KachelX 56981 KachelY + 1 44030 -0.41010018 0.88557887 -23.497009 50.739932
    Unten rechts KachelX + 1 56982 KachelY + 1 44030 -0.41005224 0.88557887 -23.494263 50.739932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88560920-0.88557887) × R
    3.03299999999673e-05 × 6371000     		dl = 193.232429999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88560920-0.88557887) × R
    3.03299999999673e-05 × 6371000     		dr = 193.232429999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41010018--0.41005224) × cos(0.88560920) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.632817914992752 × 6371000     		do = 193.278879971792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41010018--0.41005224) × cos(0.88557887) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.632841399240198 × 6371000     		du = 193.286052665446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88560920)-sin(0.88557887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632817914992752-0.632841399240198)×R²
    abs(-0.41005224--0.41010018)×2.3484247445138e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3484247445138e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3484247445138e-05×40589641000000     		ar = 37348.4406459502m²