Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5698 / 11834
↖ ↑ ↗
← S 62.206512°
W 54.799805°		 ← 1 139.24 m → S 62.206512°
W 54.777832°		 →
↑
1 139.07 m
↓
↑
1 139.07 m
↓
S 62.216756°
W 54.799805°		 ← 1 138.85 m →
1 297 452 m²		 S 62.216756°
W 54.777832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347808837890625 y=0.722320556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347808837890625 × 214)
    floor (0.347808837890625 × 16384)
    floor (5698.5)     		tx = 5698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722320556640625 × 214)
    floor (0.722320556640625 × 16384)
    floor (11834.5)     		ty = 11834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5698 / 11834 ti = "14/5698/11834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5698/11834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5698 ÷ 214
    5698 ÷ 16384     		x = 0.3477783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11834 ÷ 214
    11834 ÷ 16384     		y = 0.7222900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3477783203125 × 2 - 1) × π
    -0.304443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95643702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.444580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39668950732996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95643702} λ = -0.95643702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39668950732996))-π/2
    2×atan(0.247414674148214)-π/2
    2×0.242543939002547-π/2
    0.485087878005094-1.57079632675     		φ = -1.08570845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95643702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.799805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08570845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.206512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5698 KachelY 11834 -0.95643702 -1.08570845 -54.799805 -62.206512
    Oben rechts KachelX + 1 5699 KachelY 11834 -0.95605353 -1.08570845 -54.777832 -62.206512
    Unten links KachelX 5698 KachelY + 1 11835 -0.95643702 -1.08588724 -54.799805 -62.216756
    Unten rechts KachelX + 1 5699 KachelY + 1 11835 -0.95605353 -1.08588724 -54.777832 -62.216756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08570845--1.08588724) × R
    0.000178789999999873 × 6371000     		dl = 1139.07108999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08570845--1.08588724) × R
    0.000178789999999873 × 6371000     		dr = 1139.07108999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95643702--0.95605353) × cos(-1.08570845) × R
    0.000383489999999931 × 0.466286100047518 × 6371000     		do = 1139.23709600731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95643702--0.95605353) × cos(-1.08588724) × R
    0.000383489999999931 × 0.46612792888703 × 6371000     		du = 1138.85064988866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08570845)-sin(-1.08588724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466286100047518-0.46612792888703)×R²
    abs(-0.95605353--0.95643702)×0.000158171160487719×R²
    0.000383489999999931×0.000158171160487719×6371000²
    0.000383489999999931×0.000158171160487719×40589641000000     		ar = 1297451.94937126m²