Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56979 / 29317
↖ ↑ ↗
← N 70.015895°
W 23.502502°		 ← 104.38 m → N 70.015895°
W 23.499756°		 →
↑
104.42 m
↓
↑
104.42 m
↓
N 70.014956°
W 23.502502°		 ← 104.39 m →
10 900 m²		 N 70.014956°
W 23.499756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434719085693359 y=0.223674774169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434719085693359 × 217)
    floor (0.434719085693359 × 131072)
    floor (56979.5)     		tx = 56979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223674774169922 × 217)
    floor (0.223674774169922 × 131072)
    floor (29317.5)     		ty = 29317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56979 / 29317 ti = "17/56979/29317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56979/29317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56979 ÷ 217
    56979 ÷ 131072     		x = 0.434715270996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29317 ÷ 217
    29317 ÷ 131072     		y = 0.223670959472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434715270996094 × 2 - 1) × π
    -0.130569458007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.41019605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223670959472656 × 2 - 1) × π
    0.552658081054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.73622656733881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41019605} λ = -0.41019605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73622656733881))-π/2
    2×atan(5.6758853915979)-π/2
    2×1.39640210707826-π/2
    2.79280421415652-1.57079632675     		φ = 1.22200789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41019605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.502502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22200789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.015895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56979 KachelY 29317 -0.41019605 1.22200789 -23.502502 70.015895
    Oben rechts KachelX + 1 56980 KachelY 29317 -0.41014811 1.22200789 -23.499756 70.015895
    Unten links KachelX 56979 KachelY + 1 29318 -0.41019605 1.22199150 -23.502502 70.014956
    Unten rechts KachelX + 1 56980 KachelY + 1 29318 -0.41014811 1.22199150 -23.499756 70.014956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22200789-1.22199150) × R
    1.63900000000883e-05 × 6371000     		dl = 104.420690000562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22200789-1.22199150) × R
    1.63900000000883e-05 × 6371000     		dr = 104.420690000562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41019605--0.41014811) × cos(1.22200789) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341759446651811 × 6371000     		do = 104.382131895552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41019605--0.41014811) × cos(1.22199150) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341774849722469 × 6371000     		du = 104.386836389805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22200789)-sin(1.22199150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341759446651811-0.341774849722469)×R²
    abs(-0.41014811--0.41019605)×1.54030706578934e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54030706578934e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54030706578934e-05×40589641000000     		ar = 10899.8998598846m²