Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 56973 / 9013
↖ ↑ ↗
← N 78.290471°
E132.962036°		 ← 123.96 m → N 78.290471°
E132.967529°		 →
↑
123.98 m
↓
↑
123.98 m
↓
N 78.289356°
E132.962036°		 ← 123.97 m →
15 369 m²		 N 78.289356°
E132.967529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869346618652344 y=0.137535095214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869346618652344 × 216)
    floor (0.869346618652344 × 65536)
    floor (56973.5)     		tx = 56973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137535095214844 × 216)
    floor (0.137535095214844 × 65536)
    floor (9013.5)     		ty = 9013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56973 / 9013 ti = "16/56973/9013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56973/9013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56973 ÷ 216
    56973 ÷ 65536     		x = 0.869338989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9013 ÷ 216
    9013 ÷ 65536     		y = 0.137527465820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869338989257812 × 2 - 1) × π
    0.738677978515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.32062531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137527465820312 × 2 - 1) × π
    0.724945068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27748210094887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32062531} λ = 2.32062531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27748210094887))-π/2
    2×atan(9.75209468038365)-π/2
    2×1.46861140944385-π/2
    2.93722281888771-1.57079632675     		φ = 1.36642649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32062531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.962036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36642649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.290471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56973 KachelY 9013 2.32062531 1.36642649 132.962036 78.290471
    Oben rechts KachelX + 1 56974 KachelY 9013 2.32072118 1.36642649 132.967529 78.290471
    Unten links KachelX 56973 KachelY + 1 9014 2.32062531 1.36640703 132.962036 78.289356
    Unten rechts KachelX + 1 56974 KachelY + 1 9014 2.32072118 1.36640703 132.967529 78.289356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36642649-1.36640703) × R
    1.94600000000822e-05 × 6371000     		dl = 123.979660000524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36642649-1.36640703) × R
    1.94600000000822e-05 × 6371000     		dr = 123.979660000524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32062531-2.32072118) × cos(1.36642649) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20295015131878 × 6371000     		do = 123.959470345158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32062531-2.32072118) × cos(1.36640703) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202969206299666 × 6371000     		du = 123.97110889444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36642649)-sin(1.36640703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20295015131878-0.202969206299666)×R²
    abs(2.32072118-2.32062531)×1.90549808859741e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.90549808859741e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90549808859741e-05×40589641000000     		ar = 15369.1744594288m²