Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56972 / 9011
↖ ↑ ↗
← N 78.292700°
E132.956543°		 ← 123.94 m → N 78.292700°
E132.962036°		 →
↑
123.92 m
↓
↑
123.92 m
↓
N 78.291586°
E132.956543°		 ← 123.95 m →
15 358 m²		 N 78.291586°
E132.962036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869331359863281 y=0.137504577636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869331359863281 × 216)
    floor (0.869331359863281 × 65536)
    floor (56972.5)     		tx = 56972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137504577636719 × 216)
    floor (0.137504577636719 × 65536)
    floor (9011.5)     		ty = 9011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56972 / 9011 ti = "16/56972/9011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56972/9011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56972 ÷ 216
    56972 ÷ 65536     		x = 0.86932373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9011 ÷ 216
    9011 ÷ 65536     		y = 0.137496948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86932373046875 × 2 - 1) × π
    0.7386474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32052944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137496948242188 × 2 - 1) × π
    0.725006103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27767384854735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32052944} λ = 2.32052944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27767384854735))-π/2
    2×atan(9.75396480040855)-π/2
    2×1.46863086521918-π/2
    2.93726173043836-1.57079632675     		φ = 1.36646540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32052944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.956543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36646540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.292700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56972 KachelY 9011 2.32052944 1.36646540 132.956543 78.292700
    Oben rechts KachelX + 1 56973 KachelY 9011 2.32062531 1.36646540 132.962036 78.292700
    Unten links KachelX 56972 KachelY + 1 9012 2.32052944 1.36644595 132.956543 78.291586
    Unten rechts KachelX + 1 56973 KachelY + 1 9012 2.32062531 1.36644595 132.962036 78.291586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36646540-1.36644595) × R
    1.9450000000143e-05 × 6371000     		dl = 123.915950000911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36646540-1.36644595) × R
    1.9450000000143e-05 × 6371000     		dr = 123.915950000911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32052944-2.32062531) × cos(1.36646540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202912050918419 × 6371000     		do = 123.936199086585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32052944-2.32062531) × cos(1.36644595) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202931096261039 × 6371000     		du = 123.947831748933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36646540)-sin(1.36644595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202912050918419-0.202931096261039)×R²
    abs(2.32062531-2.32052944)×1.90453426201775e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.90453426201775e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90453426201775e-05×40589641000000     		ar = 15358.3925859934m²