Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56971 / 9012
↖ ↑ ↗
← N 78.291586°
E132.951050°		 ← 123.96 m → N 78.291586°
E132.956543°		 →
↑
123.98 m
↓
↑
123.98 m
↓
N 78.290471°
E132.951050°		 ← 123.97 m →
15 369 m²		 N 78.290471°
E132.956543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869316101074219 y=0.137519836425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869316101074219 × 216)
    floor (0.869316101074219 × 65536)
    floor (56971.5)     		tx = 56971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137519836425781 × 216)
    floor (0.137519836425781 × 65536)
    floor (9012.5)     		ty = 9012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56971 / 9012 ti = "16/56971/9012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56971/9012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56971 ÷ 216
    56971 ÷ 65536     		x = 0.869308471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9012 ÷ 216
    9012 ÷ 65536     		y = 0.13751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869308471679688 × 2 - 1) × π
    0.738616943359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32043356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13751220703125 × 2 - 1) × π
    0.7249755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27757797474811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32043356} λ = 2.32043356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27757797474811))-π/2
    2×atan(9.75302969557223)-π/2
    2×1.46862113778814-π/2
    2.93724227557628-1.57079632675     		φ = 1.36644595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32043356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.951050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36644595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.291586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56971 KachelY 9012 2.32043356 1.36644595 132.951050 78.291586
    Oben rechts KachelX + 1 56972 KachelY 9012 2.32052944 1.36644595 132.956543 78.291586
    Unten links KachelX 56971 KachelY + 1 9013 2.32043356 1.36642649 132.951050 78.290471
    Unten rechts KachelX + 1 56972 KachelY + 1 9013 2.32052944 1.36642649 132.956543 78.290471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36644595-1.36642649) × R
    1.94599999998601e-05 × 6371000     		dl = 123.979659999109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36644595-1.36642649) × R
    1.94599999998601e-05 × 6371000     		dr = 123.979659999109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32043356-2.32052944) × cos(1.36644595) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.202931096261039 × 6371000     		do = 123.960760488997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32043356-2.32052944) × cos(1.36642649) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.20295015131878 × 6371000     		du = 123.97240029922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36644595)-sin(1.36642649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202931096261039-0.20295015131878)×R²
    abs(2.32052944-2.32043356)×1.90550577412463e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.90550577412463e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.90550577412463e-05×40589641000000     		ar = 15369.3344890346m²