Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56970 / 8598
↖ ↑ ↗
← N 78.744228°
E132.945557°		 ← 119.22 m → N 78.744228°
E132.951050°		 →
↑
119.27 m
↓
↑
119.27 m
↓
N 78.743155°
E132.945557°		 ← 119.23 m →
14 219 m²		 N 78.743155°
E132.951050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869300842285156 y=0.131202697753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869300842285156 × 216)
    floor (0.869300842285156 × 65536)
    floor (56970.5)     		tx = 56970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131202697753906 × 216)
    floor (0.131202697753906 × 65536)
    floor (8598.5)     		ty = 8598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56970 / 8598 ti = "16/56970/8598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56970/8598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56970 ÷ 216
    56970 ÷ 65536     		x = 0.869293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8598 ÷ 216
    8598 ÷ 65536     		y = 0.131195068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869293212890625 × 2 - 1) × π
    0.73858642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32033769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131195068359375 × 2 - 1) × π
    0.73760986328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31726972763351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32033769} λ = 2.32033769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31726972763351))-π/2
    2×atan(10.14792983592)-π/2
    2×1.47257118275413-π/2
    2.94514236550826-1.57079632675     		φ = 1.37434604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32033769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.945557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37434604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.744228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56970 KachelY 8598 2.32033769 1.37434604 132.945557 78.744228
    Oben rechts KachelX + 1 56971 KachelY 8598 2.32043356 1.37434604 132.951050 78.744228
    Unten links KachelX 56970 KachelY + 1 8599 2.32033769 1.37432732 132.945557 78.743155
    Unten rechts KachelX + 1 56971 KachelY + 1 8599 2.32043356 1.37432732 132.951050 78.743155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37434604-1.37432732) × R
    1.87200000001386e-05 × 6371000     		dl = 119.265120000883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37434604-1.37432732) × R
    1.87200000001386e-05 × 6371000     		dr = 119.265120000883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32033769-2.32043356) × cos(1.37434604) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195189131166343 × 6371000     		do = 119.219134153326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32033769-2.32043356) × cos(1.37432732) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195207491064564 × 6371000     		du = 119.230348154617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37434604)-sin(1.37432732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195189131166343-0.195207491064564)×R²
    abs(2.32043356-2.32033769)×1.83598982207989e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.83598982207989e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.83598982207989e-05×40589641000000     		ar = 14219.3530612863m²