Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5697 / 2885
↖ ↑ ↗
← N 81.405728°
W117.410888°		 ← 182.55 m → N 81.405728°
W117.399902°		 →
↑
182.59 m
↓
↑
182.59 m
↓
N 81.404086°
W117.410888°		 ← 182.58 m →
33 335 m²		 N 81.404086°
W117.399902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.173873901367188 y=0.0880584716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.173873901367188 × 215)
    floor (0.173873901367188 × 32768)
    floor (5697.5)     		tx = 5697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0880584716796875 × 215)
    floor (0.0880584716796875 × 32768)
    floor (2885.5)     		ty = 2885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5697 / 2885 ti = "15/5697/2885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5697/2885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5697 ÷ 215
    5697 ÷ 32768     		x = 0.173858642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2885 ÷ 215
    2885 ÷ 32768     		y = 0.088043212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.173858642578125 × 2 - 1) × π
    -0.65228271484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.04920658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088043212890625 × 2 - 1) × π
    0.82391357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58840083188455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.04920658} λ = -2.04920658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58840083188455))-π/2
    2×atan(13.3084720927499)-π/2
    2×1.49579715850881-π/2
    2.99159431701763-1.57079632675     		φ = 1.42079799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.04920658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -117.410888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42079799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.405728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5697 KachelY 2885 -2.04920658 1.42079799 -117.410888 81.405728
    Oben rechts KachelX + 1 5698 KachelY 2885 -2.04901484 1.42079799 -117.399902 81.405728
    Unten links KachelX 5697 KachelY + 1 2886 -2.04920658 1.42076933 -117.410888 81.404086
    Unten rechts KachelX + 1 5698 KachelY + 1 2886 -2.04901484 1.42076933 -117.399902 81.404086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42079799-1.42076933) × R
    2.86600000001247e-05 × 6371000     		dl = 182.592860000794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42079799-1.42076933) × R
    2.86600000001247e-05 × 6371000     		dr = 182.592860000794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.04920658--2.04901484) × cos(1.42079799) × R
    0.000191739999999996 × 0.14943648794429 × 6371000     		do = 182.547958456245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.04920658--2.04901484) × cos(1.42076933) × R
    0.000191739999999996 × 0.14946482606913 × 6371000     		du = 182.582575616399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42079799)-sin(1.42076933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14943648794429-0.14946482606913)×R²
    abs(-2.04901484--2.04920658)×2.83381248399606e-05×R²
    0.000191739999999996×2.83381248399606e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.83381248399606e-05×40589641000000     		ar = 33335.114247288m²