Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56968 / 42373
↖ ↑ ↗
← N 53.532146°
W 23.532715°		 ← 181.54 m → N 53.532146°
W 23.529968°		 →
↑
181.51 m
↓
↑
181.51 m
↓
N 53.530513°
W 23.532715°		 ← 181.54 m →
32 951 m²		 N 53.530513°
W 23.529968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434635162353516 y=0.323284149169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434635162353516 × 217)
    floor (0.434635162353516 × 131072)
    floor (56968.5)     		tx = 56968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323284149169922 × 217)
    floor (0.323284149169922 × 131072)
    floor (42373.5)     		ty = 42373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56968 / 42373 ti = "17/56968/42373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56968/42373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56968 ÷ 217
    56968 ÷ 131072     		x = 0.43463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42373 ÷ 217
    42373 ÷ 131072     		y = 0.323280334472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.1307373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41072336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323280334472656 × 2 - 1) × π
    0.353439331054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.11036240589936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41072336} λ = -0.41072336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11036240589936))-π/2
    2×atan(3.035458263106)-π/2
    2×1.25255426266839-π/2
    2.50510852533678-1.57079632675     		φ = 0.93431220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41072336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.532715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93431220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.532146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56968 KachelY 42373 -0.41072336 0.93431220 -23.532715 53.532146
    Oben rechts KachelX + 1 56969 KachelY 42373 -0.41067542 0.93431220 -23.529968 53.532146
    Unten links KachelX 56968 KachelY + 1 42374 -0.41072336 0.93428371 -23.532715 53.530513
    Unten rechts KachelX + 1 56969 KachelY + 1 42374 -0.41067542 0.93428371 -23.529968 53.530513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93431220-0.93428371) × R
    2.84900000000476e-05 × 6371000     		dl = 181.509790000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93431220-0.93428371) × R
    2.84900000000476e-05 × 6371000     		dr = 181.509790000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41072336--0.41067542) × cos(0.93431220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594371689117865 × 6371000     		do = 181.536412983755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41072336--0.41067542) × cos(0.93428371) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594394600262833 × 6371000     		du = 181.543410637161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93431220)-sin(0.93428371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594371689117865-0.594394600262833)×R²
    abs(-0.41067542--0.41072336)×2.29111449686625e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29111449686625e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29111449686625e-05×40589641000000     		ar = 32951.2712715905m²